(
1
)
∫
x
s
i
n
x
d
x
；
(
2
)
∫
l
n
x
d
x
；
(
3
)
∫
a
r
c
s
i
n
x
d
x
；
(
4
)
∫
x
e
−
x
d
x
；
(
5
)
∫
x
2
l
n
x
d
x
；
(
6
)
∫
e
−
x
c
o
s
x
d
x
；
(
7
)
∫
e
−
2
x
s
i
n
x
2
d
x
；
(
8
)
∫
x
c
o
s
x
2
d
x
；
(
9
)
∫
x
2
a
r
c
t
a
n
x
d
x
；
(
10
)
∫
x
t
a
n
2
x
d
x
；
(
11
)
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
；
(
12
)
∫
t
e
−
2
t
d
t
；
(
13
)
∫
l
n
2
x
d
x
；
(
14
)
∫
x
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
；
(
15
)
∫
x
2
c
o
s
2
x
2
d
x
；
(
16
)
∫
x
l
n
(
x
−
1
)
d
x
；
(
17
)
∫
(
x
2
−
1
)
s
i
n
2
x
d
x
；
(
18
)
∫
l
n
3
x
x
2
d
x
；
(
19
)
∫
e
x
3
d
x
；
(
20
)
∫
c
o
s
l
n
x
d
x
；
(
21
)
∫
(
a
r
c
s
i
n
x
)
2
d
x
；
(
22
)
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
；
(
23
)
∫
x
l
n
2
x
d
x
；
(
24
)
∫
e
3
x
+
9
d
x
；
(1) ∫xsin xdx； (2) ∫ln xdx； (3) ∫arcsin xdx； (4) ∫xe−xdx； (5) ∫x2ln xdx； (6) ∫e−xcos xdx； (7) ∫e−2xsin x2dx； (8) ∫xcos x2dx； (9) ∫x2arctan xdx； (10) ∫xtan2 xdx； (11) ∫x2cos xdx； (12) ∫te−2tdt； (13) ∫ln2 xdx； (14) ∫xsin xcos xdx； (15) ∫x2cos2 x2dx； (16) ∫xln(x−1)dx； (17) ∫(x2−1)sin 2xdx； (18) ∫ln3 xx2dx； (19) ∫e3√xdx； (20) ∫cos ln xdx； (21) ∫(arcsin x)2dx； (22) ∫exsin2 xdx； (23) ∫xln2 xdx； (24) ∫e√3x+9dx；
(
1
)
设
u
=
x
，
d
v
=
s
i
n
x
d
x
，则
d
u
=
d
x
，
v
=
−
c
o
s
x
，
得
∫
x
s
i
n
x
d
x
=
−
x
cos
x
+
∫
c
o
s
x
d
x
=
−
x
c
o
s
x
+
s
i
n
x
+
C
(
2
)
设
u
=
l
n
x
，
d
v
=
d
x
，则
d
u
=
1
x
d
x
，
v
=
x
，
得
∫
l
n
x
d
x
=
x
l
n
x
−
∫
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
(
3
)
设
u
=
a
r
c
s
i
n
x
，
d
v
=
d
x
，则
d
u
=
1
1
−
x
2
d
x
，
v
=
x
，
得
∫
a
r
c
s
i
n
x
d
x
=
x
a
r
c
s
i
n
x
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
=
x
a
r
c
s
i
n
x
+
1
−
x
2
+
C
(
4
)
设
u
=
x
，
d
v
=
e
−
x
d
x
，则
d
u
=
d
x
，
v
=
−
e
−
x
，
得
∫
x
e
−
x
d
x
=
−
x
e
−
x
+
∫
e
−
x
d
x
=
−
e
−
x
(
x
+
1
)
+
C
(
5
)
设
u
=
l
n
x
，
d
v
=
x
2
d
x
，则
d
u
=
1
x
d
x
，
v
=
1
3
x
3
，
得
∫
x
2
l
n
x
d
x
=
1
3
x
3
l
n
x
−
1
3
∫
x
2
d
x
=
1
3
x
3
l
n
x
−
1
9
x
3
+
C
(
6
)
设
u
=
c
o
s
x
，
d
v
=
e
−
x
d
x
，则
d
u
=
−
s
i
n
x
d
x
，
v
=
−
e
−
x
，
得
∫
e
−
x
c
o
s
x
d
x
=
−
e
−
x
c
o
s
x
−
∫
e
−
x
s
i
n
x
d
x
，
求
∫
e
−
x
s
i
n
x
d
x
，设
u
=
s
i
n
x
，
d
v
=
e
−
x
d
x
，则
d
u
=
c
o
s
x
d
x
，
v
=
−
e
−
x
，
得
∫
e
−
x
s
i
n
x
d
x
=
−
e
−
x
s
i
n
x
+
∫
e
−
x
c
o
s
x
d
x
，代入原式，
得
∫
e
−
x
c
o
s
x
d
x
=
−
e
−
x
c
o
s
x
−
∫
e
−
x
s
i
n
x
d
x
=
−
e
−
x
c
o
s
x
+
e
−
x
s
i
n
x
−
∫
e
−
x
c
o
s
x
d
x
，
则
∫
e
−
x
c
o
s
x
d
x
=
1
2
e
−
x
(
s
i
n
x
−
c
o
s
x
)
+
C
(
7
)
设
u
=
s
i
n
x
2
，
d
v
=
e
−
2
x
d
x
，则
d
u
=
1
2
c
o
s
x
2
d
x
，
v
=
−
1
2
e
−
2
x
，
得
∫
e
−
2
x
s
i
n
x
2
d
x
=
−
1
2
e
−
2
x
s
i
n
x
2
+
1
4
∫
e
−
2
x
c
o
s
x
2
d
x
，
求
∫
e
−
2
x
c
o
s
x
2
d
x
，设
u
=
c
o
s
x
2
，
d
v
=
e
−
2
x
d
x
，则
d
u
=
−
1
2
s
i
n
x
2
，
v
=
−
1
2
e
−
2
x
，
得
∫
e
−
2
x
c
o
s
x
2
d
x
=
−
1
2
e
−
2
x
c
o
s
x
2
−
1
4
∫
e
−
2
x
s
i
n
x
2
d
x
，代入原式，
得
∫
e
−
2
x
s
i
n
x
2
d
x
=
−
1
2
e
−
2
x
s
i
n
x
2
+
1
4
∫
e
−
2
x
c
o
s
x
2
d
x
=
−
1
2
e
−
2
x
s
i
n
x
2
−
1
8
e
−
2
x
c
o
s
x
2
−
1
16
∫
e
−
2
x
s
i
n
x
2
d
x
，
则
∫
e
−
2
x
s
i
n
x
2
d
x
=
−
8
17
e
−
2
x
s
i
n
x
2
−
2
17
e
−
2
x
c
o
s
x
2
d
x
+
C
(
8
)
设
u
=
x
，
d
v
=
c
o
s
x
2
d
x
，则
d
u
=
d
x
，
v
=
2
s
i
n
x
2
，
得
∫
x
c
o
s
x
2
d
x
=
2
x
s
i
n
x
2
−
2
∫
s
i
n
x
2
d
x
=
2
x
s
i
n
x
2
+
4
c
o
s
x
2
+
C
(
9
)
设
u
=
a
r
c
t
a
n
x
，
d
v
=
x
2
d
x
，则
d
u
=
1
1
+
x
2
d
x
，
v
=
1
3
x
3
，
得
∫
x
2
a
r
c
t
a
n
x
d
x
=
1
3
x
3
a
r
c
t
a
n
x
−
1
3
∫
x
3
1
+
x
2
d
x
，
求
∫
x
3
1
+
x
2
d
x
，令
u
=
1
+
x
2
，则
x
=
u
−
1
，
d
x
=
1
2
u
−
1
d
u
，
得
∫
x
3
1
+
x
2
d
x
=
1
2
∫
u
−
1
u
d
u
=
1
2
∫
d
u
−
1
2
∫
1
u
d
u
=
1
2
u
−
1
2
l
n
∣
u
∣
+
C
=
1
2
(
1
+
x
2
)
−
1
2
l
n
(
1
+
x
2
)
+
C
，
代入原式，得
∫
x
2
a
r
c
t
a
n
x
d
x
=
1
3
x
3
a
r
c
t
a
n
x
−
1
3
∫
x
3
1
+
x
2
d
x
=
1
3
x
3
a
r
c
t
a
n
x
−
1
6
(
1
+
x
2
)
+
1
6
l
n
(
1
+
x
2
)
+
C
=
1
3
x
3
a
r
c
t
a
n
x
+
1
6
l
n
(
1
+
x
2
)
−
1
6
x
2
+
C
(
10
)
∫
x
t
a
n
2
x
d
x
=
∫
x
(
s
e
c
2
x
−
1
)
d
x
=
∫
x
s
e
c
2
x
d
x
−
∫
x
d
x
，令
u
=
x
，
d
v
=
s
e
c
2
x
d
x
，
则
d
u
=
d
x
，
v
=
t
a
n
x
，得
∫
x
s
e
c
2
x
d
x
−
∫
x
d
x
=
x
t
a
n
x
−
∫
t
a
n
x
d
x
−
1
2
x
2
，求
∫
t
a
n
x
d
x
，
∫
t
a
n
x
d
x
=
−
∫
1
c
o
s
x
d
(
c
o
s
x
)
=
−
l
n
∣
c
o
s
x
∣
+
C
，代入原式，得
x
t
a
n
x
+
l
n
∣
c
o
s
x
∣
−
1
2
x
2
+
C
(
11
)
设
u
=
x
2
，
d
v
=
c
o
s
x
d
x
，则
d
u
=
2
x
d
x
，
v
=
s
i
n
x
，得
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
=
x
2
s
i
n
x
−
2
∫
x
s
i
n
x
d
x
，
求
∫
x
s
i
n
x
d
x
，设
u
=
x
，
d
v
=
s
i
n
x
d
x
，则
d
u
=
d
x
，
v
=
−
c
o
s
x
，得
∫
x
s
i
n
x
d
x
=
−
x
c
o
s
x
+
∫
c
o
s
x
d
x
=
−
x
c
o
s
x
+
s
i
n
x
+
C
，代入原式，
得
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
=
x
2
s
i
n
x
−
2
∫
x
s
i
n
x
d
x
=
x
2
s
i
n
x
+
2
x
c
o
s
x
−
2
s
i
n
x
+
C
=
(
x
2
−
2
)
s
i
n
x
+
2
x
c
o
s
x
+
C
(
12
)
设
u
=
t
，
d
v
=
e
−
2
t
d
t
，则
d
u
=
d
t
，
v
=
−
1
2
e
−
2
t
，
得
∫
t
e
−
2
t
d
t
=
−
1
2
t
e
−
2
t
+
1
2
∫
e
−
2
t
d
t
=
−
1
2
t
e
−
2
t
−
1
4
e
−
2
t
+
C
=
−
1
2
e
−
2
t
(
t
+
1
2
)
+
C
(
13
)
设
u
=
l
n
2
x
，
d
v
=
d
x
，则
d
u
=
2
l
n
x
x
d
x
，
v
=
x
，
得
∫
l
n
2
x
d
x
=
x
l
n
2
x
−
2
∫
l
n
x
d
x
，求
∫
l
n
x
d
x
，
设
u
=
l
n
x
，
x
=
e
u
，
d
x
=
e
u
d
u
，得
∫
l
n
x
d
x
=
∫
u
e
u
d
u
=
x
l
n
x
−
x
+
C
，代入原式，
得
∫
l
n
2
x
d
x
=
x
l
n
2
x
−
2
∫
l
n
x
d
x
=
x
l
n
2
x
−
2
x
l
n
x
+
2
x
+
C
(
14
)
设
u
=
x
s
i
n
x
，
d
v
=
c
o
s
x
d
x
，则
d
u
=
(
s
i
n
x
+
x
c
o
s
x
)
d
x
，
v
=
s
i
n
x
，
得
∫
x
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
=
x
s
i
n
2
x
−
∫
(
s
i
n
2
x
+
x
s
i
n
x
c
o
s
x
)
d
x
=
x
s
i
n
2
x
−
∫
s
i
n
2
x
d
x
−
∫
x
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
，
求
∫
s
i
n
2
x
d
x
=
−
1
4
s
i
n
2
x
+
1
2
x
+
C
，代入原式，
得
∫
x
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
=
x
s
i
n
2
x
+
1
4
s
i
n
2
x
−
1
2
x
−
∫
x
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
，
则
∫
x
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
=
1
2
x
s
i
n
2
x
+
1
8
s
i
n
2
x
−
1
4
x
+
C
=
−
1
4
x
c
o
s
2
x
+
1
8
s
i
n
2
x
+
C
(
15
)
设
u
=
c
o
s
2
x
2
，
d
v
=
x
2
d
x
，则
d
u
=
−
1
2
s
i
n
x
d
x
，
v
=
1
3
x
3
，
得
∫
x
2
c
o
s
2
x
2
d
x
=
1
3
x
3
c
o
s
2
x
2
+
1
6
∫
x
3
s
i
n
x
d
x
（
1
−
1
）
求
∫
x
3
s
i
n
x
d
x
，设
u
=
x
3
，
d
v
=
s
i
n
x
d
x
，则
d
u
=
3
x
2
d
x
，
v
=
−
c
o
s
x
，
得
∫
x
3
s
i
n
x
d
x
=
−
x
3
c
o
s
x
+
3
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
（
1
−
2
）
求
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
，设
u
=
x
2
，
d
v
=
c
o
s
x
d
x
，则
d
u
=
2
x
d
x
，
v
=
s
i
n
x
，
得
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
=
x
2
s
i
n
x
−
2
∫
x
s
i
n
x
d
x
（
1
−
3
）
求
∫
x
s
i
n
x
d
x
，设
u
=
x
，
d
v
=
s
i
n
x
d
x
，则
d
u
=
d
x
，
v
=
−
c
o
s
x
，
得
∫
x
s
i
n
x
d
x
=
−
x
c
o
s
x
+
∫
c
o
s
x
d
x
=
−
x
c
o
s
x
+
s
i
n
x
+
C
，代入（
1
−
3
）式，
得
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
=
x
2
s
i
n
x
−
2
∫
x
s
i
n
x
d
x
=
x
2
s
i
n
x
+
2
x
c
o
s
x
−
2
s
i
n
x
+
C
，代入（
1
−
2
）式，
得
∫
x
3
s
i
n
x
d
x
=
−
x
3
c
o
s
x
+
3
∫
x
2
c
o
s
x
d
x
=
−
x
3
c
o
s
x
+
3
x
2
s
i
n
x
+
6
x
c
o
s
x
−
6
s
i
n
x
+
C
，
代入（
1
−
1
）式，
得
∫
x
2
c
o
s
2
x
2
d
x
=
1
3
x
3
c
o
s
2
x
2
+
1
6
∫
x
3
s
i
n
x
d
x
=
1
3
x
3
c
o
s
2
x
2
−
1
6
x
3
c
o
s
x
+
1
2
x
2
s
i
n
x
+
x
c
o
s
x
−
s
i
n
x
+
C
=
1
6
x
3
+
1
2
x
2
s
i
n
x
+
x
c
o
s
x
−
s
i
n
x
+
C
(
16
)
设
u
=
l
n
(
x
−
1
)
，
d
v
=
x
d
x
，则
d
u
=
1
x
−
1
d
x
，
v
=
1
2
x
2
，
得
∫
x
l
n
(
x
−
1
)
d
x
=
1
2
x
2
l
n
(
x
−
1
)
−
1
2
∫
x
2
x
−
1
d
x
，求
∫
x
2
x
−
1
d
x
，
设
u
=
x
−
1
，则
d
x
=
d
u
，得
∫
x
2
x
−
1
d
x
=
∫
(
u
+
1
)
2
u
d
u
=
∫
(
u
+
2
+
1
u
)
d
u
=
1
2
u
2
+
2
u
+
l
n
∣
u
∣
+
C
=
1
2
(
x
+
1
)
2
+
l
n
(
x
−
1
)
+
C
，代入原式，
∫
x
l
n
(
x
−
1
)
d
x
=
1
2
x
2
l
n
(
x
−
1
)
−
1
2
∫
x
2
x
−
1
d
x
=
1
2
x
2
l
n
(
x
−
1
)
−
1
4
(
x
+
1
)
2
−
1
2
l
n
(
x
−
1
)
+
C
=
1
2
(
x
2
−
1
)
l
n
(
x
−
1
)
−
1
4
x
2
−
1
2
x
+
C
(
17
)
设
u
=
x
2
−
1
，
d
v
=
s
i
n
2
x
d
x
，则
d
u
=
2
x
d
x
，
v
=
−
1
2
c
o
s
2
x
，
得
∫
(
x
2
−
1
)
s
i
n
2
x
d
x
=
−
1
2
x
2
c
o
s
2
x
+
1
2
c
o
s
2
x
+
∫
x
c
o
s
2
x
d
x
，求
∫
x
c
o
s
2
x
d
x
设
u
=
x
，
d
v
=
c
o
s
2
x
d
x
，则
d
u
=
d
x
，
v
=
1
2
s
i
n
2
x
，
得
∫
x
c
o
s
2
x
d
x
=
1
2
x
s
i
n
2
x
−
1
2
∫
s
i
n
2
x
d
x
=
1
2
x
s
i
n
2
x
+
1
4
c
o
s
2
x
+
C
，代入原式，
得
∫
(
x
2
−
1
)
s
i
n
2
x
d
x
=
−
1
2
x
2
c
o
s
2
x
+
1
2
c
o
s
2
x
+
∫
x
c
o
s
2
x
d
x
=
−
1
2
x
2
c
o
s
2
x
+
3
4
c
o
s
2
x
+
1
2
x
s
i
n
2
x
+
C
(
18
)
设
u
=
l
n
3
x
，
d
v
=
1
x
2
d
x
，则
d
u
=
3
l
n
2
x
x
d
x
，
v
=
−
1
x
，
得
∫
l
n
3
x
x
2
d
x
=
−
l
n
3
x
x
+
3
∫
l
n
2
x
x
2
d
x
（
1
−
1
），求
∫
l
n
2
x
x
2
d
x
设
u
=
l
n
2
x
，
d
v
=
1
x
2
d
x
，则
d
u
=
2
l
n
x
x
，
v
=
−
1
x
，
得
∫
l
n
2
x
x
2
d
x
=
−
l
n
2
x
x
+
2
∫
l
n
x
x
2
d
x
（
1
−
2
），求
∫
l
n
x
x
2
d
x
设
u
=
l
n
x
，
d
v
=
1
x
2
d
x
，则
d
u
=
1
x
d
x
，
v
=
−
1
x
，
得
∫
l
n
x
x
2
d
x
=
−
l
n
x
x
+
∫
1
x
2
d
x
=
−
l
n
x
x
−
1
x
+
C
，代入（
1
−
2
）式，
得
∫
l
n
2
x
x
2
d
x
=
−
l
n
2
x
x
+
2
∫
l
n
x
x
2
d
x
=
−
l
n
2
x
x
−
2
l
n
x
x
−
2
x
+
C
，代入（
1
−
1
）式，
得
∫
l
n
3
x
x
2
d
x
=
−
l
n
3
x
x
+
3
∫
l
n
2
x
x
2
d
x
=
−
l
n
3
x
x
−
3
l
n
2
x
x
−
6
l
n
x
x
−
6
x
+
C
(
19
)
令
u
=
x
3
，
x
=
u
3
，则
d
x
=
3
u
2
d
u
，
得
∫
e
x
3
d
x
=
3
∫
u
2
e
u
d
u
，设
t
=
u
2
，
d
v
=
e
u
d
u
，则
d
t
=
2
u
d
u
，
v
=
e
u
，
得
3
∫
u
2
e
u
d
u
=
3
u
2
e
u
−
6
∫
u
e
u
d
u
，设
t
=
u
，
d
v
=
e
u
d
u
，则
d
t
=
d
u
，
v
=
e
u
，
得
3
∫
u
2
e
u
d
u
=
3
u
2
e
u
−
6
∫
u
e
u
d
u
=
3
u
2
e
u
−
6
u
e
u
+
6
e
u
+
C
=
3
e
x
3
(
x
2
3
−
2
x
3
+
2
)
+
C
(
20
)
设
u
=
l
n
x
，
x
=
e
u
，则
d
x
=
e
u
d
u
，
得
∫
c
o
s
l
n
x
d
x
=
∫
e
u
c
o
s
u
d
u
，设
t
=
c
o
s
u
，
d
v
=
e
u
d
u
，则
d
t
=
−
s
i
n
u
d
u
，
v
=
e
u
，
得
∫
e
u
c
o
s
u
d
u
=
e
u
c
o
s
u
+
∫
e
u
s
i
n
u
d
u
=
e
u
c
o
s
u
+
e
u
s
i
n
u
−
∫
e
u
c
o
s
u
d
u
，
∫
e
u
c
o
s
u
d
u
=
1
2
e
u
(
s
i
n
u
+
c
o
s
u
)
+
C
=
1
2
x
(
s
i
n
l
n
x
+
c
o
s
l
n
x
)
+
C
(
21
)
设
u
=
a
r
c
s
i
n
x
，
x
=
s
i
n
u
，
d
x
=
c
o
s
u
d
u
，
得
∫
(
a
r
c
s
i
n
x
)
2
d
x
=
∫
u
2
c
o
s
u
d
u
，设
t
=
u
2
，
d
v
=
c
o
s
u
d
u
，则
d
t
=
2
u
d
u
，
v
=
s
i
n
u
，
得
∫
u
2
c
o
s
u
d
u
=
u
2
s
i
n
u
−
2
∫
u
s
i
n
u
d
u
，设
t
=
u
，
d
v
=
s
i
n
u
d
u
，则
d
t
=
d
u
，
v
=
−
c
o
s
u
，
得
∫
u
2
c
o
s
u
d
u
=
u
2
s
i
n
u
−
2
∫
u
s
i
n
u
d
u
=
u
2
s
i
n
u
+
2
u
c
o
s
u
−
2
∫
c
o
s
u
d
u
)
=
u
2
s
i
n
u
+
2
u
c
o
s
u
−
2
s
i
n
u
+
C
得
∫
(
a
r
c
s
i
n
x
)
2
d
x
=
x
(
a
r
c
s
i
n
x
)
2
+
2
1
−
x
2
a
r
c
s
i
n
x
−
2
x
+
C
(
22
)
设
u
=
s
i
n
2
x
，
d
v
=
e
x
d
x
，则
d
u
=
s
i
n
2
x
d
x
，
v
=
e
x
，
得
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
=
e
x
s
i
n
2
x
−
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
（
1
−
1
）求
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
，
设
u
=
s
i
n
2
x
，
d
v
=
e
x
d
x
，则
d
u
=
2
c
o
s
2
x
d
x
，
v
=
e
x
，
得
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
=
e
x
s
i
n
2
x
−
2
∫
e
x
c
o
s
2
x
d
x
（
1
−
2
），求
∫
e
x
c
o
s
2
x
d
x
，
设
u
=
c
o
s
2
x
，，
d
v
=
e
x
d
x
，则
d
u
=
−
2
s
i
n
2
x
d
x
，
v
=
e
x
，
得
∫
e
x
c
o
s
2
x
d
x
=
e
x
c
o
s
2
x
+
2
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
，代入（
1
−
2
）式，
得
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
=
1
5
e
x
s
i
n
2
x
−
2
5
e
x
c
o
s
2
x
+
C
，代入（
1
−
1
）式，
得
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
=
e
x
s
i
n
2
x
−
∫
e
x
s
i
n
2
x
d
x
=
e
x
s
i
n
2
x
−
1
5
e
x
s
i
n
2
x
+
2
5
e
x
c
o
s
2
x
+
C
=
1
2
e
x
−
1
5
e
x
s
i
n
2
x
−
1
10
e
x
c
o
s
2
x
+
C
(
23
)
设
u
=
l
n
x
，则
x
=
e
u
，
d
x
=
e
u
d
u
，得
∫
x
l
n
2
x
d
x
=
∫
u
2
e
2
u
d
u
，
设
t
=
u
2
，
d
v
=
e
2
u
d
u
，则
d
t
=
2
u
d
u
，
v
=
1
2
e
2
u
，
得
∫
u
2
e
2
u
d
u
=
1
2
u
2
e
2
u
−
∫
u
e
2
u
d
u
，求
∫
u
e
2
u
d
u
，
设
t
=
u
，
d
v
=
e
2
u
d
u
，则
d
t
=
d
u
，
v
=
1
2
e
2
u
，
得
∫
u
e
2
u
d
u
=
1
2
u
e
2
u
−
1
2
∫
e
2
u
d
u
=
1
2
u
e
2
u
−
1
4
e
2
u
+
C
，代入原式，
得
∫
u
2
e
2
u
d
u
=
1
2
u
2
e
2
u
−
∫
u
e
2
u
d
u
=
1
2
u
2
e
2
u
−
1
2
u
e
2
u
+
1
4
e
2
u
+
C
，
∫
x
l
n
2
x
d
x
=
1
2
x
2
l
n
2
x
−
1
2
x
2
l
n
x
+
1
4
x
2
+
C
=
1
2
x
2
(
l
n
2
x
−
l
n
x
+
1
2
)
+
C
(
24
)
设
u
=
3
x
+
9
，则
x
=
1
3
u
2
−
3
，
d
x
=
2
3
u
d
u
，得
∫
e
3
x
+
9
d
x
=
2
3
∫
u
e
u
d
u
，
设
t
=
u
，
d
v
=
e
u
d
u
，则
d
t
=
d
u
，
v
=
e
u
，
得
2
3
∫
u
e
u
d
u
=
2
3
(
u
e
u
−
∫
e
u
d
u
)
=
2
3
e
u
(
u
−
1
)
+
C
=
2
3
e
3
x
+
9
(
3
x
+
9
−
1
)
+
C
\begin{aligned} &\ \ (1)\ 设u=x，dv=sin\ xdx，则du=dx，v=-cos\ x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xsin\ xdx=-x\cos\ x+\int cos\ xdx=-xcos\ x+sin\ x+C\\\\ &\ \ (2)\ 设u=ln\ x，dv=dx，则du=\frac{1}{x}dx，v=x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int ln\ xdx=xln\ x-\int dx=x\ln\ x-x+C\\\\ &\ \ (3)\ 设u=arcsin\ x，dv=dx，则du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx，v=x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int arcsin\ xdx=xarcsin\ x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=xarcsin\ x+\sqrt{1-x^2}+C\\\\ &\ \ (4)\ 设u=x，dv=e^{-x}dx，则du=dx，v=-e^{-x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-e^{-x}(x+1)+C\\\\ &\ \ (5)\ 设u=ln\ x，dv=x^2dx，则du=\frac{1}{x}dx，v=\frac{1}{3}x^3，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^2ln\ xdx=\frac{1}{3}x^3ln\ x-\frac{1}{3}\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3ln\ x-\frac{1}{9}x^3+C\\\\ &\ \ (6)\ 设u=cos\ x，dv=e^{-x}dx，则du=-sin\ xdx，v=-e^{-x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^{-x}cos\ xdx=-e^{-x}cos\ x-\int e^{-x}sin\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int e^{-x}sin\ xdx，设u=sin\ x，dv=e^{-x}dx，则du=cos\ xdx，v=-e^{-x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^{-x}sin\ xdx=-e^{-x}sin\ x+\int e^{-x}cos\ xdx，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^{-x}cos\ xdx=-e^{-x}cos\ x-\int e^{-x}sin\ xdx=-e^{-x}cos\ x+e^{-x}sin\ x-\int e^{-x}cos\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 则\int e^{-x}cos\ xdx=\frac{1}{2}e^{-x}(sin\ x-cos\ x)+C\\\\ &\ \ (7)\ 设u=sin\ \frac{x}{2}，dv=e^{-2x}dx，则du=\frac{1}{2}cos\ \frac{x}{2}dx，v=-\frac{1}{2}e^{-2x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\int e^{-2x}cos\ \frac{x}{2}dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int e^{-2x}cos\ \frac{x}{2}dx，设u=cos\ \frac{x}{2}，dv=e^{-2x}dx，则du=-\frac{1}{2}sin\ \frac{x}{2}，v=-\frac{1}{2}e^{-2x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^{-2x}cos\ \frac{x}{2}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}cos\ \frac{x}{2}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}dx，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\int e^{-2x}cos\ \frac{x}{2}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}-\frac{1}{8}e^{-2x}cos\ \frac{x}{2}-\frac{1}{16}\int e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 则\int e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}dx=-\frac{8}{17}e^{-2x}sin\ \frac{x}{2}-\frac{2}{17}e^{-2x}cos\ \frac{x}{2}dx+C\\\\ &\ \ (8)\ 设u=x，dv=cos\ \frac{x}{2}dx，则du=dx，v=2sin\ \frac{x}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xcos\ \frac{x}{2}dx=2xsin\ \frac{x}{2}-2\int sin\ \frac{x}{2}dx=2xsin\ \frac{x}{2}+4cos\ \frac{x}{2}+C\\\\ &\ \ (9)\ 设u=arctan\ x，dv=x^2dx，则du=\frac{1}{1+x^2}dx，v=\frac{1}{3}x^3，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^2arctan\ xdx=\frac{1}{3}x^3arctan\ x-\frac{1}{3}\int \frac{x^3}{1+x^2}dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int \frac{x^3}{1+x^2}dx，令u=1+x^2，则x=\sqrt{u-1}，dx=\frac{1}{2\sqrt{u-1}}du，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \frac{x^3}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}du=\frac{1}{2}\int du-\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}ln\ |u|+C=\frac{1}{2}(1+x^2)-\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 代入原式，得\int x^2arctan\ xdx=\frac{1}{3}x^3arctan\ x-\frac{1}{3}\int \frac{x^3}{1+x^2}dx=\frac{1}{3}x^3arctan\ x-\frac{1}{6}(1+x^2)+\frac{1}{6}ln(1+x^2)+C\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{3}x^3arctan\ x+\frac{1}{6}ln(1+x^2)-\frac{1}{6}x^2+C\\\\ &\ \ (10)\ \int xtan^2\ xdx=\int x(sec^2\ x-1)dx=\int xsec^2\ xdx-\int xdx，令u=x，dv=sec^2\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 则du=dx，v=tan\ x，得\int xsec^2\ xdx-\int xdx=xtan\ x-\int tan\ xdx-\frac{1}{2}x^2，求\int tan\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \int tan\ xdx=-\int \frac{1}{cos\ x}d(cos\ x)=-ln\ |cos\ x|+C，代入原式，得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ xtan\ x+ln\ |cos\ x|-\frac{1}{2}x^2+C\\\\ &\ \ (11)\ 设u=x^2，dv=cos\ xdx，则du=2xdx，v=sin\ x，得\int x^2cos\ xdx=x^2sin\ x-2\int xsin\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int xsin\ xdx，设u=x，dv=sin\ xdx，则du=dx，v=-cos\ x，得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \int xsin\ xdx=-xcos\ x+\int cos\ xdx=-xcos\ x+sin\ x+C，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^2cos\ xdx=x^2sin\ x-2\int xsin\ xdx=x^2sin\ x+2xcos\ x-2sin\ x+C=(x^2-2)sin\ x+2xcos\ x+C\\\\ &\ \ (12)\ 设u=t，dv=e^{-2t}dt，则du=dt，v=-\frac{1}{2}e^{-2t}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int te^{-2t}dt=-\frac{1}{2}te^{-2t}+\frac{1}{2}\int e^{-2t}dt=-\frac{1}{2}te^{-2t}-\frac{1}{4}e^{-2t}+C=-\frac{1}{2}e^{-2t}\left(t+\frac{1}{2}\right)+C\\\\ &\ \ (13)\ 设u=ln^2\ x，dv=dx，则du=\frac{2ln\ x}{x}dx，v=x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int ln^2\ xdx=xln^2\ x-2\int ln\ xdx，求\int ln\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 设u=ln\ x，x=e^u，dx=e^udu，得\int ln\ xdx=\int ue^udu=xln\ x-x+C，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int ln^2\ xdx=xln^2\ x-2\int ln\ xdx=xln^2\ x-2xln\ x+2x+C\\\\ &\ \ (14)\ 设u=xsin\ x，dv=cos\ xdx，则du=(sin\ x+xcos\ x)dx，v=sin\ x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xsin\ xcos\ xdx=xsin^2\ x-\int (sin^2\ x+xsin\ xcos\ x)dx=xsin^2\ x-\int sin^2\ xdx-\int xsin\ xcos\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int sin^2\ xdx=-\frac{1}{4}sin\ 2x+\frac{1}{2}x+C，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xsin\ xcos\ xdx=xsin^2\ x+\frac{1}{4}sin\ 2x-\frac{1}{2}x-\int xsin\ xcos\ xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 则\int xsin\ xcos\ xdx=\frac{1}{2}xsin^2\ x+\frac{1}{8}sin\ 2x-\frac{1}{4}x+C=-\frac{1}{4}xcos\ 2x+\frac{1}{8}sin\ 2x+C\\\\ &\ \ (15)\ 设u=cos^2\ \frac{x}{2}，dv=x^2dx，则du=-\frac{1}{2}sin\ xdx，v=\frac{1}{3}x^3，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^2cos^2\ \frac{x}{2}dx=\frac{1}{3}x^3cos^2\ \frac{x}{2}+\frac{1}{6}\int x^3sin\ xdx（1-1）\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int x^3sin\ xdx，设u=x^3，dv=sin\ xdx，则du=3x^2dx，v=-cos\ x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^3sin\ xdx=-x^3cos\ x+3\int x^2cos\ xdx（1-2）\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int x^2cos\ xdx，设u=x^2，dv=cos\ xdx，则du=2xdx，v=sin\ x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^2cos\ xdx=x^2sin\ x-2\int xsin\ xdx（1-3）\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 求\int xsin\ xdx，设u=x，dv=sin\ xdx，则du=dx，v=-cos\ x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xsin\ xdx=-xcos\ x+\int cos\ xdx=-xcos\ x+sin\ x+C，代入（1-3）式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^2cos\ xdx=x^2sin\ x-2\int xsin\ xdx=x^2sin\ x+2xcos\ x-2sin\ x+C，代入（1-2）式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^3sin\ xdx=-x^3cos\ x+3\int x^2cos\ xdx=-x^3cos\ x+3x^2sin\ x+6xcos\ x-6sin\ x+C，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 代入（1-1）式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int x^2cos^2\ \frac{x}{2}dx=\frac{1}{3}x^3cos^2\ \frac{x}{2}+\frac{1}{6}\int x^3sin\ xdx=\frac{1}{3}x^3cos^2\ \frac{x}{2}-\frac{1}{6}x^3cos\ x+\frac{1}{2}x^2sin\ x+xcos\ x-sin\ x+C=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2sin\ x+xcos\ x-sin\ x+C\\\\ &\ \ (16)\ 设u=ln(x-1)，dv=xdx，则du=\frac{1}{x-1}dx，v=\frac{1}{2}x^2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xln(x-1)dx=\frac{1}{2}x^2ln(x-1)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x-1}dx，求\int \frac{x^2}{x-1}dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设u=x-1，则dx=du，得\int \frac{x^2}{x-1}dx=\int \frac{(u+1)^2}{u}du=\int \left(u+2+\frac{1}{u}\right)du=\frac{1}{2}u^2+2u+ln\ |u|+C=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}(x+1)^2+ln(x-1)+C，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int xln(x-1)dx=\frac{1}{2}x^2ln(x-1)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x-1}dx=\frac{1}{2}x^2ln(x-1)-\frac{1}{4}(x+1)^2-\frac{1}{2}ln(x-1)+C=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}(x^2-1)ln(x-1)-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+C\\\\ &\ \ (17)\ 设u=x^2-1，dv=sin\ 2xdx，则du=2xdx，v=-\frac{1}{2}cos\ 2x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int (x^2-1)sin\ 2xdx=-\frac{1}{2}x^2cos\ 2x+\frac{1}{2}cos\ 2x+\int xcos\ 2xdx，求\int xcos\ 2xdx\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设u=x，dv=cos\ 2xdx，则du=dx，v=\frac{1}{2}sin\ 2x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int xcos\ 2xdx=\frac{1}{2}xsin\ 2x-\frac{1}{2}\int sin\ 2xdx=\frac{1}{2}xsin\ 2x+\frac{1}{4}cos\ 2x+C，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int (x^2-1)sin\ 2xdx=-\frac{1}{2}x^2cos\ 2x+\frac{1}{2}cos\ 2x+\int xcos\ 2xdx=-\frac{1}{2}x^2cos\ 2x+\frac{3}{4}cos\ 2x+\frac{1}{2}xsin\ 2x+C\\\\ &\ \ (18)\ 设u=ln^3\ x，dv=\frac{1}{x^2}dx，则du=\frac{3ln^2\ x}{x}dx，v=-\frac{1}{x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \frac{ln^3\ x}{x^2}dx=-\frac{ln^3\ x}{x}+3\int \frac{ln^2\ x}{x^2}dx（1-1），求\int \frac{ln^2\ x}{x^2}dx\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设u=ln^2\ x，dv=\frac{1}{x^2}dx，则du=\frac{2ln\ x}{x}，v=-\frac{1}{x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \frac{ln^2\ x}{x^2}dx=-\frac{ln^2\ x}{x}+2\int \frac{ln\ x}{x^2}dx（1-2），求\int \frac{ln\ x}{x^2}dx\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设u=ln\ x，dv=\frac{1}{x^2}dx，则du=\frac{1}{x}dx，v=-\frac{1}{x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \frac{ln\ x}{x^2}dx=-\frac{ln\ x}{x}+\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{ln\ x}{x}-\frac{1}{x}+C，代入（1-2）式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \frac{ln^2\ x}{x^2}dx=-\frac{ln^2\ x}{x}+2\int \frac{ln\ x}{x^2}dx=-\frac{ln^2\ x}{x}-\frac{2ln\ x}{x}-\frac{2}{x}+C，代入（1-1）式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \frac{ln^3\ x}{x^2}dx=-\frac{ln^3\ x}{x}+3\int \frac{ln^2\ x}{x^2}dx=-\frac{ln^3\ x}{x}-\frac{3ln^2\ x}{x}-\frac{6ln\ x}{x}-\frac{6}{x}+C\\\\ &\ \ (19)\ 令u=\sqrt[3]{x}，x=u^3，则dx=3u^2du，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^{\sqrt[3]{x}}dx=3\int u^2e^udu，设t=u^2，dv=e^udu，则dt=2udu，v=e^u，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得3\int u^2e^udu=3u^2e^u-6\int ue^udu，设t=u，dv=e^udu，则dt=du，v=e^u，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得3\int u^2e^udu=3u^2e^u-6\int ue^udu=3u^2e^u-6ue^u+6e^u+C=3e^{\sqrt[3]{x}}(x^{\frac{2}{3}}-2\sqrt[3]{x}+2)+C\\\\ &\ \ (20)\ 设u=ln\ x，x=e^u，则dx=e^udu，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int cos\ ln\ xdx=\int e^ucos\ udu，设t=cos\ u，dv=e^udu，则dt=-sin\ udu，v=e^u，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^ucos\ udu=e^ucos\ u+\int e^usin\ udu=e^ucos\ u+e^usin\ u-\int e^ucos\ udu，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int e^ucos\ udu=\frac{1}{2}e^u(sin\ u+cos\ u)+C=\frac{1}{2}x(sin\ ln\ x+cos\ ln\ x)+C\\\\ &\ \ (21)\ 设u=arcsin\ x，x=sin\ u，dx=cos\ udu，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int (arcsin\ x)^2dx=\int u^2cos\ udu，设t=u^2，dv=cos\ udu，则dt=2udu，v=sin\ u，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int u^2cos\ udu=u^2sin\ u-2\int usin\ udu，设t=u，dv=sin\ udu，则dt=du，v=-cos\ u，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int u^2cos\ udu=u^2sin\ u-2\int usin\ udu=u^2sin\ u+2ucos\ u-2\int cos\ udu)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u^2sin\ u+2ucos\ u-2sin\ u+C\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int (arcsin\ x)^2dx=x(arcsin\ x)^2+2\sqrt{1-x^2}arcsin\ x-2x+C\\\\ &\ \ (22)\ 设u=sin^2\ x，dv=e^xdx，则du=sin\ 2xdx，v=e^x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^xsin^2\ xdx=e^xsin^2\ x-\int e^xsin\ 2xdx（1-1）求\int e^xsin\ 2xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设u=sin\ 2x，dv=e^xdx，则du=2cos\ 2xdx，v=e^x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^xsin\ 2xdx=e^xsin\ 2x-2\int e^xcos\ 2xdx（1-2），求\int e^xcos\ 2xdx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设u=cos\ 2x，，dv=e^xdx，则du=-2sin\ 2xdx，v=e^x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^xcos\ 2xdx=e^xcos\ 2x+2\int e^xsin\ 2xdx，代入（1-2）式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^xsin\ 2xdx=\frac{1}{5}e^xsin\ 2x-\frac{2}{5}e^xcos\ 2x+C，代入（1-1）式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int e^xsin^2\ xdx=e^xsin^2\ x-\int e^xsin\ 2xdx=e^xsin^2\ x-\frac{1}{5}e^xsin\ 2x+\frac{2}{5}e^xcos\ 2x+C=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}e^x-\frac{1}{5}e^xsin\ 2x-\frac{1}{10}e^xcos\ 2x+C\\\\ &\ \ (23)\ 设u=ln\ x，则x=e^u，dx=e^udu，得\int xln^2\ xdx=\int u^2e^{2u}du，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设t=u^2，dv=e^{2u}du，则dt=2udu，v=\frac{1}{2}e^{2u}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int u^2e^{2u}du=\frac{1}{2}u^2e^{2u}-\int ue^{2u}du，求\int ue^{2u}du，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设t=u，dv=e^{2u}du，则dt=du，v=\frac{1}{2}e^{2u}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int ue^{2u}du=\frac{1}{2}ue^{2u}-\frac{1}{2}\int e^{2u}du=\frac{1}{2}ue^{2u}-\frac{1}{4}e^{2u}+C，代入原式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int u^2e^{2u}du=\frac{1}{2}u^2e^{2u}-\int ue^{2u}du=\frac{1}{2}u^2e^{2u}-\frac{1}{2}ue^{2u}+\frac{1}{4}e^{2u}+C，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int xln^2\ xdx=\frac{1}{2}x^2ln^2\ x-\frac{1}{2}x^2ln\ x+\frac{1}{4}x^2+C=\frac{1}{2}x^2(ln^2\ x-ln\ x+\frac{1}{2})+C\\\\ &\ \ (24)\ 设u=\sqrt{3x+9}，则x=\frac{1}{3}u^2-3，dx=\frac{2}{3}udu，得\int e^{\sqrt{3x+9}}dx=\frac{2}{3}\int ue^udu，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设t=u，dv=e^udu，则dt=du，v=e^u，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\frac{2}{3}\int ue^udu=\frac{2}{3}(ue^u-\int e^udu)=\frac{2}{3}e^u(u-1)+C=\frac{2}{3}e^{\sqrt{3x+9}}(\sqrt{3x+9}-1)+C & \end{aligned}