洛谷 P1776：宝物筛选 ← 多重背包问题 二进制优化

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1776

【题目描述】
终于，破解了千年的难题。小 F 找到了王室的宝库，里面堆满了无数价值连城的宝物。
这下小 F 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 F 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 F 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。
小 F 对宝库里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 F 有一个最大载重为 W 的采集车，宝库里总共有 n 种宝物，每种宝物的价值为 vi，重量为 wi，每种宝物有 mi 件。小 F 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

【输入格式】
第一行为一个整数 n 和 W，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。
接下来 n 行每行三个整数 vi，wi，mi。

【输出格式】
输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

【算法分析】
多重背包问题通常可转化成01背包问题求解。但若将每种物品的数量拆分成多个1的话，时间复杂度会很高，从而导致TLE。所以，需要利用二进制优化思想。即：
一个正整数n，可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1的形式。其中，k是满足n-2^k+1>0的最大整数。

例如，假设给定价值为2，数量为10的物品，依据二进制优化思想可将10分解为1+2+4+3，则原来价值为2，数量为10的物品可等效转化为价值分别为1*2，2*2，4*2，3*2，即价值分别为2，4，8，6，数量均为1的物品。

【算法代码】

#include 
using namespace std;
 
int n,V;
const int maxn=100005;
int vol[maxn],val[maxn];
int c[maxn];
 
int main() {
	cin>>n>>V;
	int cnt=0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		int wi,vi,nge;
		cin>>vi>>wi>>nge;
 
		int k=1;
		while(k<=nge) {
			cnt++;
			vol[cnt]=wi*k;
			val[cnt]=vi*k;
			nge-=k;
			k*=2;
		}
 
		if(nge>0) {
			cnt++;
			vol[cnt]=wi*nge;
			val[cnt]=vi*nge;
		}
	}
 
	n=cnt;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=V; j>=vol[i]; j--)
			c[j]=max(c[j],c[j-vol[i]]+val[i]);
	}
	cout<
 
	return 0;
}
 
 
/*
in:
4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3
out:
47
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/109363826
https://www.luogu.com.cn/problem/P1776