CH9：Medians and Order Statistics

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9.1 Order Statistics

9.1.1 背景介绍

OrderStatistics 排位统计：集合中第i小的元素

中位数：快排中找中位数，代价大

寻找集合中第i小的元素：

• 最大：i = n
• 最小：i = 1
• 中位数

我们可以多快解决这个问题？

• 最大或者最小：O(n)
• 排序：O(nlgn)

下面尝试用O(n)解决

9.1.2 Randomized algorithm for finding the i th element 随机算法

（1）算法思路

算法思路：

• 利用带有随机的partition算法确定pivot的位置，按照pivot位置和要找的元素的排名对对应的部分进行递归

  

• 终止条件：区间长度为1或者是pivot位置就是rank位置

• 递归找左还是右不要搞错

算法实现：

int randomizedSelect(vector<int>& vec, int start, int end, int rank) {
	if (start == end) return vec[start];
	int pivot_index = randomizedPartition(vec, start, end);
	int pivot_rank = pivot_index - start + 1;
	if (pivot_rank == rank) {
		return vec[pivot_index];
	}
	if (rank < pivot_rank) {
		return randomizedSelect(vec, start, pivot_index - 1, rank);				// 左边找 
	}else{
		return randomizedSelect(vec, pivot_index + 1, end, rank - pivot_rank);	// 右边找 
	}
}
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（2）算法分析

最坏情况下时间复杂度：$T(n)=T(n-1)+\Theta (n)=\Theta (n^2)$

与快排区别，快排是两个子问题。

9.1.3 对于快排的优化

对于快排的时间复杂度，若找中值是线性开销，那么：
$$T(n)=2T(n/2)+O(n)+O(n)=\Theta (nlgn)$$
若找中值是最坏情况：
$$T(n)=2T(n/2)+O(n)+O(n^2)$$

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线性的找中值：

每5个一组，快速通过直接插入排序找到中值，每组中值的中值作为pivot。
$$T(n)=T(n/5)+\Theta (n)+T(7n/10)=\Theta (n)$$