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AVL树的概念

AVL树节点的定义

AVL树的插入

AVL树的旋转

AVL树的验证

AVL树的性能

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AVL树的概念

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
（1）它的左右子树都是AVL树
（2）左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

AVL树节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair _kv;
	AVLTreeNode* _left;//左孩子
	AVLTreeNode* _right;//右孩子
	AVLTreeNode* _parent;//父节点
 
	// 右子树-左子树的高度差
	int _bf;
 
	AVLTreeNode(const pair& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

其中数据用pair(键值对来存储)，详情可看下链接pair

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AVL树的插入

AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
 

bool Insert(const pair& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}
 
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
 
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
 
		cur->_parent = parent;
 
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}
 
			//继续更新
			if (parent->_bf == 0)  
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)// 左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) // 右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}
				 
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
 
		}
	}

在更新平衡因子前的操作和二叉搜索树一样，只不过插入后要额外建立子节点和父节点的关系.

新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可
此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，+-1， +-2
1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足AVL树的性质，插入成功,不需要再向上调整
2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新(因为影响到了上面的节点)
3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理.

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AVL树的旋转

由上面的代码知道旋转分为四种情况

1.左单旋

这里abc分别代表高度均为h的子树的抽象图，那么当在c插入（左右无所谓），都会引起7的平衡因子+1，接着5的平衡因子+1变成了2（原本右边就比左边高1），需要进行旋转。在旋转时我们需要平衡高度，使用下面的方法：

把7的左也就是b给5的右，再把5给成7的左，变成如图：

 这样一来，我们发现7和5的平衡因子就都变成了0，使得树平衡

代码：

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
 
		subR->_left = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;//父亲的父亲
 
        parent->_parent=subR;
		if (parent == _root)//如果需要旋转的父亲是根节点
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_right == parent)
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

2.右单旋

把3的右也就是c给5的左，再把5给3的右

代码：

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
 
		subL->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
 
        parent->_parent=subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_right == parent)
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

3.左右双旋

可以看到在这种情况中出现了“折线”，而前两种情况都是“直线”，这种情况只进行一次旋转是不行的，我们首先对30进行左旋，再对90进行右旋即可完成目标，但是注意，我们新插入的节点可能在b，也可能在c呀，所以如果在c的话，那么90最后的平衡因子就是0，30的平衡因子就是-1。因此我们在插入后先记录60也就是parent（90）的左边的右边的平衡因子，看是插入在了b还是c，最后再统一调整平衡因子，代码如下
PS：也有可能60一开始就没有左右孩子，60是新插入的节点，那么最后30/90/60的平衡因子都是0

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
 
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
 
		// 更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			// subLR->_bf旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

4.右左双旋

同理，不再赘述，代码如下：

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
 
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
 
		if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			// subLR->_bf旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

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AVL树的验证

这里我们采用递归算法，只需要验证左右子树的高度差不过1即可

求高度：

int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
 
		int lh = _Height(root->_left);
		int rh = _Height(root->_right);
 
		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}

验证：

bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == root)
			return true;
 
		// root左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;
 
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
 
		if (diff != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子不符合实际" << endl;
			return false;
		}
 
		return _IsBalanceTree(root->_left)
			&& _IsBalanceTree(root->_right);
	}

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AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log_2 (N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，在删除时，更有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但如果结构需要经常修改，就不太适合。

至于AVL树的旋转这里不做赘述，需要的可以查阅算法导论。

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