人工神经网络

人工神经元是人工神经网络的基本构成元素，如下图所示，$={\left[x_1,x_2,x_3...x_m\right]}^T,W={\left[w_1,w_2,...w_m\right]}^T$为连接权，于是网络输入$u={\sum }_{i=1}^m{w}_i{x}_i$，其向量形式为$u=W^{T}X$

上图为单层感知器神经元模型，其中m为输入神经元的个数
v = ∑ i = 1 m w i x i , y = { 1 v ≥ 0 0 v < 0 v=\sum_{i=1}^m{w_ix_i},y=

{1v≥00v<0" role="presentation" style="position: relative;">{1v≥00v<0$$\{\begin{array}{l}1v\ge 0\\ 0v<0\end{array}$$

v=∑i=1m​wi​xi​,y={1v≥00v<0​

激活函数也乘激励函数，活化函数，用来执行对神经元所获得的网络输入的变换，一般有以下四种：

1. 线性函数$f(u)=ku+c$

2. 非线性斜面函数 f ( u ) = { γ , u ≥ θ k u , ∣ u ∣ < θ − γ , u ≤ − θ f\left( u \right) =

   {γ,u≥θku,|u|<θ−γ,u≤−θ" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨γ,u≥θku,|u|<θ−γ,u≤−θ$$\{\begin{array}{l}\gamma ,u\ge \theta \\ ku,\left|u\right|<\theta \\ -\gamma ,u\le -\theta \end{array}$$
   f(u)=⎩ ⎨ ⎧​γ,u≥θku,∣u∣<θ−γ,u≤−θ​
   其中$\theta ,\gamma$为非负实数，$\gamma$称为饱和值，即$\gamma$为神经元的最大输出

3. 阈值函数/阶跃函数
   f ( u ) = { β , u > θ − γ , u ≤ θ f\left( u \right) =

   {β,u>θ−γ,u≤θ" role="presentation" style="position: relative;">{β,u>θ−γ,u≤θ$$\{\begin{array}{l}\beta ,u>\theta \\ -\gamma ,u\le \theta \end{array}$$
   f(u)={β,u>θ−γ,u≤θ​

4. 在logistic回归中介绍过sigmoid函数，该函数将区间负无穷到正无穷映射到（0,1）
   sigmoid函数的公式为：
   $$f\left(u\right)=\frac{1}{1+e^{-u}}$$

5. tanh函数讲教育sigmoid函数要常见一些，该函数将区间负无穷到正无穷映射到（-1,1），其公式为：
   $$f\left(u\right)=\frac{e^u-e^u}{e^u+e^{-u}}$$

例：
采用单一感知器神经元解决简单的分类的问题：将四个输入向量分为两类，其中两个向量对应的目标值为1，另外两个向量对应的目标值为0，即输入向量构成矩阵：
[ − 0.5 − 0.5 0.3 0 − 0.5 0.5 − 0.5 1 ] \left[

\right] [−0.5−0.5​−0.50.5​0.3−0.5​01​]
其中每一列1列是一个输入的取值，且目标分类向量T=[1,1,0,0]。试预测新输入向量$p={\left[-0.5,0.2\right]}^T$的目标值:

from sklearn.linear_model import Perceptron
import numpy as np
x0=np.array([[-0.5,-0.5,0.3,0.0],[-0.5,0.5,-0.5,1.0]]).T
y0=np.array([1,1,0,0])
md=Perceptron().fit(x0,y0)#构造并拟合模型
print("模型系数和常数项分别为：",md.coef_,",",md.intercept_)
print("模型精度：",md.score(x0,y0))#模型检验
print("预测值为：",md.predict([[-0.5,0.2]]))
1
2
3
4
5
6
7
8

记两个指标变量分别为$x_1，x_2$,求得分类函数为$v=-1.3x_1-0.5x_2$。新输入向量p的目标值为1

BP神经网络

BP神经网络最大优点是具有极强的非线性映射能力，他主要用于以下四个方面

1. 函数逼近。用输入向量和相应的输出向量训练一个网络以逼近某个函数
2. 模式识别
3. 预测
4. 数据压缩

BP神经网络的具体流程如下：
（1） 初始化，给各连接权及阈值赋予[-1,1]的随机值
（2） 随机选择一模式对$X_0=\left[x_1^0,x_2^0....x_n^0\right],Y_0=\left[y_1^0,y_2^0,...y_n^0\right]$提供给网络

(3)用输入模式、连接权，和國值，计算中间层各单元的输入，然后用s通过活函数计算中间层各单元的输出。
(4)用中间层的输出；连接权。和阔值计算输出层各单元的输入，然后用。过激活函数计算输出层各单元的响应d。
(5)用希望输出模式、网络实际输出计算输出层各单元一般化误差。。
(6)用连接权g、输出层一般化误差、中间层输出，计算中间层各单元一般化误
的元一般化误差c、中间层各单元输出，修正连接权u，和阈值。人各单元输入，修正连接权和阙值。
（7）重新从m个学习模式中随机选取一个模式对，即返回步骤3，直至网络全局误差函数E小于预先设定的一个极小值，即网络收敛；或学习次数大于预先设定的值，即网络无法收敛