泛函

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泛函（functional）指以函数构成的向量空间为定义域，实数为值域为的“函数”，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。

函数代表了数到数的映射，而泛函代表了函数到数的映射，即给定一个函数，泛函能够得到一个数

欧拉-拉格朗日方程

原理及证明

求解以积分形式表示的量的最小化或者最大化

当泛函 取极值时，函数$y(x)$应当满足欧拉-拉格朗日方程：
$$\frac{\partial }{\partial y}F(x,y,y_x)-\frac{d}{dx}(\frac{\partial }{\partial y_x}F(x,y,y_x))=0$$
简单证明:

​ 设存在泛函:
$$J(y)={\int }_a^{b}F(x,y,y_x)$$
我们假设能够使 $J(y)$ 取得极值的函数 $y$ 为 $u(x)$ 。那么在区间 $[a,b]$ 上，定义函数族
$$y(x)=u(x)+ϵ\eta (x)$$
其中 $ϵ$ 是一个实参数，$\eta (x)$ 定义为函数 $y(x)$ 与 $u(x)$ 的差值。由此可以看出 $\eta (x)$ 应当满足$\eta (a)=\eta (b)=0$ ，那么 $y(x)$ 当然也满足边界条件，也代表两点之间的一条路径，并且在确定的 $\eta (x)$ 下，其函数表达式只与 ϵ 有关。

那么对于任意确定的函数$\eta (x)$， 泛函$J(y)=J(u+ϵ\eta )=J(ϵ)$ ，应当只是参数 $ϵ$ 的函数，且 $\frac{dJ(ϵ)}{dϵ}{|}_{ϵ}=0$（ $ϵ=0$ 时， $y(x)=u(x)$ ,泛函 $J(y)$ 取极值）。

为了要满足上面的条件$\frac{dJ(ϵ)}{dϵ}{|}_{ϵ}=0$,我们首先来计算在任意确定的$\eta (x)$的情况下计算$\frac{dJ(ϵ)}{dϵ}$
d J ( ϵ ) d ϵ = d d ϵ ∫ a b F ( x , y , y x ) d ( x ) = ∫ a b ∂ F ( x , y , y x ) ∂ ϵ d ( x ) = ∫ a b ∂ F ∂ y ∂ y ∂ ϵ + ∂ F ∂ y x ∂ y x ∂ ϵ d ( x ) ( 链式求导 ) = ∫ a b ∂ F ∂ y η ( x ) + ∂ F ∂ y x η ′ ( x ) d ( x ) ( η ′ ( x ) = d η ( x ) / d x ) = ∫ a b ∂ F ∂ y η ( x ) + ∂ F ∂ y x d η ( x ) = ∫ a b ∂ F ∂ y η ( x ) + η ( x ) ∂ F ∂ y x ∣ a b − ∫ a b d d x ( ∂ F ∂ y x ) η ( x ) d x ( 分部积分 ) = ∫ a b [ ∂ F ∂ y − d d x ( ∂ F ∂ y x ) ] η ( x ) d x ( η ( a ) = η ( b ) = 0 )

dϵdJ(ϵ)​​=dϵd​∫ab​F(x,y,yx​)d(x)=∫ab​∂ϵ∂F(x,y,yx​)​d(x)=∫ab​∂y∂F​∂ϵ∂y​+∂yx​∂F​∂ϵ∂yx​​d(x)(链式求导)=∫ab​∂y∂F​η(x)+∂yx​∂F​η′(x)d(x)(η′(x)=dη(x)/dx)=∫ab​∂y∂F​η(x)+∂yx​∂F​dη(x)=∫ab​∂y∂F​η(x)+η(x)∂yx​∂F​∣ ∣​ab​−∫ab​dxd​(∂yx​∂F​)η(x)dx(分部积分)=∫ab​[∂y∂F​−dxd​(∂yx​∂F​)]η(x)dx(η(a)=η(b)=0)​​
当$ϵ=0$时
$$\frac{dJ(ϵ)}{dϵ}{|}_{ϵ}={\int }_a^b[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y_x})]\eta (x)dx$$
由于 $\eta (x)$ 是任意的，$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y_x})$在 $F$ 给定后是一个固定的函数。如果 $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y_x})$ 不等于0，被积函数就是任意的，无法保证积分恒为0。因此
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y_x})=0$$
得证.

多变量系统下的变分方程

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