混沌策略和单纯形法改进的鲸鱼优化算法

摘要：为解决鲸鱼优化算法收敛速度慢和寻优精度低等问题,提出了一种基于混沌策略和单纯形法优化的鲸鱼优化算法（whale optimization algorithm based on chaos optimization and simplex optimization,CSWOA）。首先,采用混沌反向学习策略初始化鲸鱼种群个体,降低随机化的原始种群对算法收敛的影响;然后,引入一种自适应权重策略,平衡算法的全局寻优和局部探索能力;最后,再引入单纯形法对原算法进行改进,提高算法的局部搜索能力和寻优能力。

1.鲸鱼优化算法

基础鲸鱼算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107559167

2. 改进鲸鱼优化算法

2.1 混沌反向学习初始化种群

WOA 通常采用随机化生成初始种群策略, 但会 使初始化种群个体分布不均, 导致种群多样性较差。 已有研究 ${}^{[10]}$ 表明, 初始种群可直接影响算法的收玫 精度和收玫速度, 且种群多样性差的算法的整体性 能不佳。由于混沌序列具有随机性、遍历性好等特 点, 因此将初始种群混沌化, 可以很好地维持种群的 多样性。张强 等 ${}^{[11]}$ 已经证明反向学习初始化可以很 好地得到初始解, 因此本文利用反向学习和混沌化 2 个初始化方法的优点, 采用 Tent 混沌映射初始化种 群, 然后对已混沌化的种群进行反向学习, 最后进行 合并选优。Tent 映射公式 ${}^{[12]}$ 为
Y ( t + 1 ) = { 2 Y ( t ) , 0 ⩽ Y ( t ) ⩽ 1 2 ； 2 ( 1 − Y ( t ) ) , 1 2 < Y ( t ) ⩽ 1 (9) \boldsymbol{Y}_{(t+1)}=\left\{

\right.\tag{9} Y(t+1)​={2Y(t)​,2(1−Y(t)​),​0⩽Y(t)​⩽21​；21​<Y(t)​⩽1​(9)
将混沌序列映射到原来的解空间得到混沌初始 化种群, 对其进行反向学习, 模型为
$${\mathbf{O}}_{{\mathbf{Y}}_{(t)}}={\mathbf{Y}}_{\min (t)}+{\mathbf{Y}}_{\max (t)}-{\mathbf{Y}}_{(t)。}$$
式中: ${\mathbf{Y}}_{\min (t)}$ 和 ${\mathbf{Y}}_{\max (t)}$ 分别为个体的下界和上界。
将混沌种群和混沌反向学习种群合并, 计算各 自的目标函数值, 选择其中最优的 $N$ 个个体作为新 的初始种群。

2.2 非线性收敛因子和自适应权重策略

标准 WOA 中, 全局寻优和局部探索性能主要 取决于系数向量 $\mathbf{A}$, 由式 (3) 和式 (5) 可知, $\mathbf{A}$ 随着 $\mathbf{a}$ 的变化而变化,而 $a$ 随着迭代次数的增加线性递减, 导致算法整体寻优能力降低。因此, 在维持收玫因 子递减趋势的情况下, 本文提出了一种收玫因子非 线性变化策略, 表达式为
$$a=\frac{2}{1+u{\mathrm{e}}^{T/T_{\max }-1}}\text{\hspace{1em}(11)}$$
式中: $T$ 为当前迭代次数; $u$ 为控制常数, 本文取 2 ; $T_{\max }$ 为最大迭代次数。在搜索前期, 收玫因子以较慢 的速率递减; 而在搜索后期, 收玫因子以较快的速率 递减,加速收玫。
虽然非线性收玫因子在一定程度上可提升算法 性能, 但当涉及全局寻优和局部探索性能时, 该策略 却无法平衡两者。因此, 本文引入一种自适应权重 策略协调收玫因子进行全局寻优和局部探索性能平 衡, 权重公式为
$$W(t)={\mathrm{e}}^{T/T_{\max }-1}\text{\hspace{1em}(12)}$$
当前个体的位置更新和螺旋位置更新公式分别为
$$\mathbf{X}(t+1)=W(t){\mathbf{X}}^{\ast }(t)-\mathbf{AD}\text{\hspace{1em}(13)}$$

$$

\boldsymbol{X}(t+1)=\boldsymbol{D} \mathrm{e}^{b l} \cos (2 \pi l)+(1-W(t)) \boldsymbol{X}^{*}(t), \tag{14}
$$

$$\mathbf{X}(t+1)=W(t){\mathbf{X}}_{\text{rand }}(t)-\mathbf{AD}\text{\hspace{1em}(15)}$$

2.3 单纯形法

单纯形法是代数拓扑中的概念，通过反射、扩张、收缩等几何变换寻求问题的最优解。每一 次操作，都会用一个更好的解替换当前的最差解。

单纯形法步骤如下:
以最优化问题 ${\min }_{\mathbf{X}\in \mathrm{R}}f(\mathbf{X})$ 为例, 计算最优点 $g$ 、最差点 $w$ 、次优点 $b$ 的函数值, 根据最优点和最差 点计算中点位置 $c$, 基本操作如下。
1)反射操作
计算反射点 $r=c+\alpha (c-w)$, 其中 $\alpha$ 为反射系 数, 本文取 1 。
2)扩展操作
如果 $w>c$, 则计算扩张点 $e=c+\gamma (r-c)$, 其 中 $\gamma$ 为扩展系数,本文取 2 。如果 $e>g$, 则用扩张点代

替最差点, 否则用反射点替代最差点。
3) 压缩操作
如果 $g>r$, 说明反射方向有误, 进行向内压缩操 作 $t=c+\beta (w-c)$, 其中 $\beta$ 为压缩系数, 本文取 $0.5$ 。 如果 $t>w$, 则用压缩点替代最差点。如果 $w<r<g$, 则进行向外收缩操作 $s=c-\beta (w-c)$ 。如果还有 $s>w$, 则用收缩点 $s$ 替代最差点 $w$, 否则用反射点替 代最差点。
因此, 反射操作能使最差点搜索所有可行解; 扩张 操作能使最优值点向距最差点更远的反方向搜索。如 果当前最优值点为极值点, 扩张操作能使该点跳出局 部极小值处; 收缩操作则能使较差点收缩到更好的位 置, 提高算法的局部搜索能力和寻优能力。

对标准 WOA 进行以上策略改进后, 得到的 CSWOA 伪代码如下：

1. 设置种群规模 $N$, 利用所描述的混沌反向学 习方法产生初始化鲸鱼种群;

2. 计算每个个体的适应度值, 并记录当前最优 个体及位置;

3. while $\left(t<t_{\max }\right)$ do

4. for $i=1$ to $N$ do

5. 根据式 (11) 计算控制参数 $a$ 的值;

6. 更新其他参数 $\mathbf{A}、\mathbf{C}、l$ 和 $p$ 的值;
   7 ) if $(p<0.5)$ do

7. if $(|\mathbf{A}|<1)$ do
   9)根据式 (13) 更新当前个体的位置;

8. else if $(|\mathbf{A}|⩾1)$ do

9. 在群体中随机选择一个个体 ( $X$ (rand));

10. 根据式 (15) 更新当前个体的位置;

11. end if

12. else if $(p⩾0.5)$ do
    15)根据式 (14) 更新当前个体的位置;

13. end if

14. end for

15. 根据单纯形法优化较差解;
    19)计算群体中个体的适应度值;
    20)更新当前最优个体及位置;

16. $t=t+1$

17. end while

3.实验结果

4.参考文献

[1]张潮,冯锋.混沌策略和单纯形法改进的鲸鱼优化算法[J].中国科技论文,2020,15(03):293-299.

5.Matlab代码

6.Python代码