奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用（附带例题讲解）（纯理论）

奇异值分解（Singular Value Decomposition），以下简称SVD，是在机器学习领域广泛应用的算法，它不仅可以用于降维算法的特征分解，还可以用于推荐系统以及自然语言处理等领域。

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论一下在PCA降维算法中如何运用SVD的。

回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下： $$Ax=\lambda x$$

其中$A$是一个$n\times n$的实对称矩阵，$x$是一个$n$维向量，则我们说$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$x$是矩阵$A$的特征值$\lambda$所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以讲矩阵$A$特征分解。

如果我们求出了矩阵$A$的$n$个特征值${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$以及这$n$个特征值所对应的特征向量 { ω 1 , ω 2 , ⋯   , ω n } \{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\} {ω1​,ω2​,⋯,ωn​}，如果这$n$个特征向量线性无关，那么矩阵$A$就可以用下式的特征分解表示：
$$A=W\Sigma W^{-1}$$

其中$W$是这$n$个特征向量所张成的$n\times n$维矩阵，而$\Sigma$为这$n$个特征值为主对角线的$n\times n$维矩阵。

一般我们会把$W$的这$n$个特征向量标准化，即满足$||{\omega }_i|{|}_2=1$，或者说${\omega }_i^T{\omega }_i=1$，此时$W$的这$n$个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=1$，即$W^T=W^{-1}$。

这样我们的特征分解表达式可以写成： $$A=W\Sigma W^T$$

注意到要进行特征分解，矩阵$A$必须为方阵。那么如果$A$不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2.SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。

假设我们的矩阵$A$是一个$m\times n$的矩阵，那么我们定义矩阵$A$的SVD为：
$$A=U\Sigma V^T$$

其中$U$是一个$m\times n$的矩阵，$\Sigma$是一个$m\times n$的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$是一个$n\times n$的矩阵。

$U$和$V$都满足: $$U^{T}U=1,V^{T}V=1$$

下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的$U,\Sigma ,V$这三个矩阵呢？

如果我们将$A$的转置和$A$做矩阵乘法，那么会得到$n\times n$的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$

这样我们就可以得到矩阵$A^{T}A$的$n$个特征值和对应的$n$个特征向量$v$了。将$A^{T}A$的所有特征向量张成一个$n\times n$的矩阵$V$，就是我们SVD公式里面的$V$矩阵了。一般我们将$V$中的每个特征向量叫做$A$的右奇异向量。

如果我们将$A$和$A$的转置做矩阵乘法，那么会得到$m\times n$的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$$(A^{T}A){\mu }_i={\lambda }_i{\mu }_i$$

这样我们就可以得到矩阵$A^{T}A$的$m$个特征值和对应的$m$个特征向量$\mu$了。将$A^{T}A$的所有特征向量张成一个$m\times m$的矩阵$U$，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$\Sigma$没有求出了。由于$\Sigma$了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值$\delta$就可以了。

我们注意到: A = U Σ V T ⇒ A V = U Σ V T V ⇒ A V = U Σ ⇒ A v i = δ i μ i ⇒ δ i = A v i / μ i

A=UΣVT​⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi​=δi​μi​⇒δi​=Avi​/μi​​

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$\Sigma$。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说$A^{T}A$的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而$A^{T}A$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例:
A = U Σ V T ⇒ A T = V Σ T U T ⇒ A T A = V Σ T U T U Σ V T = V Σ 2 V T

A=UΣVT​⇒AT=VΣTUT⇒ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT​

上式证明使用了: $$U^{T}U=1,{\Sigma }^T\Sigma ={\Sigma }^2$$

可以看出$A^{T}A$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到$A^{T}A$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
$${\delta }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$

这样也就是说，我们可以不用${\delta }_i=A{v}_i/{\mu }_i$来计算奇异值，也可以通过求出$A^{T}A$的特征值取平方根来求奇异值。

3.SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：
A = ( 0 1 1 1 1 0 ) A=

A=⎝ ⎛​011​110​⎠ ⎞​

我们首先求出$A^{T}A$和$A{A}^T$:
A T A = ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 0 1 1 1 1 0 ) = ( 2 1 1 2 ) A^TA=

= ATA=(01​11​10​)⎝ ⎛​011​110​⎠ ⎞​=(21​12​)

A A T = ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 0 1 1 1 1 0 ) = ( 1 1 0 1 2 1 0 1 1 ) AA^T=

= AAT=⎝ ⎛​011​110​⎠ ⎞​(01​11​10​)=⎝ ⎛​110​121​011​⎠ ⎞​

进而求出$A{A}^T$的特征值和特征向量: λ 1 = 3    ,    μ 1 = ( 1 / 6 2 / 6 1 / 6 ) λ 2 = 1    ,    μ 2 = ( 1 / 2 0 − 1 / 2 ) λ 3 = 0    ,    μ 3 = ( 1 / 3 − 1 / 3 1 / 3 )

​λ1​=3,μ1​=⎝ ⎛​1/6 ​2/6 ​1/6 ​​⎠ ⎞​λ2​=1,μ2​=⎝ ⎛​1/2 ​0−1/2 ​​⎠ ⎞​λ3​=0,μ3​=⎝ ⎛​1/3 ​−1/3 ​1/3 ​​⎠ ⎞​​

利用$A{v}_i={\delta }_i{\mu }_i,i=1,2$求奇异值： ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 1 / 2 1 / 2 ) = δ 1 ( 1 / 6 2 / 6 1 / 6 ) ⇒ δ 1 = 3 ( 0 1 1 1 1 0 ) ( − 1 / 2 1 / 2 ) = δ 2 ( 1 / 2 0 − 1 / 2 ) ⇒ δ 2 = 1

⎝ ⎛​011​110​⎠ ⎞​(1/2 ​1/2 ​​)=δ1​⎝ ⎛​1/6 ​2/6 ​1/6 ​​⎠ ⎞​⇒δ1​=3 ​⎝ ⎛​011​110​⎠ ⎞​(−1/2 ​1/2 ​​)=δ2​⎝ ⎛​1/2 ​0−1/2 ​​⎠ ⎞​⇒δ2​=1​

当然，我们也可以用${\delta }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$直接求出奇异值为$\sqrt{3}$和1。

最终得到A的奇异值分解为: A = U Σ V T = ( 1 / 6 1 / 2 1 / 3 2 / 6 0 − 1 / 3 1 / 6 − 1 / 2 1 / 3 ) ( 3 0 0 1 0 0 ) ( 1 / 2 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 ) A=U\Sigma V^T=

A=UΣVT=⎝ ⎛​1/6 ​2/6 ​1/6 ​​1/2 ​0−1/2 ​​1/3 ​−1/3 ​1/3 ​​⎠ ⎞​⎝ ⎛​3 ​00​010​⎠ ⎞​(1/2 ​−1/2 ​​1/2 ​1/2 ​​)

4.SVD的一些性质

SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说:
$$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$

其中$k$要比$n$小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵$U_{m\times k},{\Sigma }_{k\times k},V_{k\times n}^T$来表示。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。

5.SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵$X^{T}X$的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^{T}X$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵$X^{T}X$最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵$X^{T}X$，也能求出我们的右奇异矩阵$V$。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是$m\times n$的矩阵$X$，如果我们通过SVD找到了矩阵
$X^{T}X$最大的d个特征向量张成的$m\times d$维矩阵U，则我们如果进行如下处理：
$$X_{d\times n}^{{}^{\prime }}=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$

可以得到一个$d\times n$的矩阵$X^{{}^{\prime }}$,这个矩阵和我们原来的$m\times d$维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。
最大的d个特征向量张成的$m\times d$维矩阵U，则我们如果进行如下处理：
$$X_{d\times n}^{{}^{\prime }}=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$

可以得到一个$d\times n$的矩阵$X^{{}^{\prime }}$,这个矩阵和我们原来的$m\times d$维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。