题目描述

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例1:
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例2:
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

题解

暴力法

思路

这是一道典型的数组类题目，可以先利用归并排序将两个有序数组合并。然后根据奇数还是偶数来返回中位数。

上述思路需要合并数组，会带来内存空间的开销，其实我们并不需要真的合并数组，而是只要找到中位数在哪里就可以了。由于两个数组长度已知，因此中位数的下表也是已知的，我们只需要维护两个指针，分别指向两个数组下标为0的位置，通过移动指针，找到对应的中位数即可。

上面两种思路简单易懂，但是时间复杂度并不满足要求，他们都需要O(m+n)的时间复杂度。但是题目要求我们实现时间复杂度log(m+n)，通过读题目我们找到关键词：正序数组 。因此我们可以考虑二分查找的方式。如果对时间复杂度的要求有 log，通常都需要用到二分查找，这道题也可以通过二分查找实现。

根据中位数的定义，当 m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素，当 m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素和第 (m+n)/2+1个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。

假设两个数组分别是A和B。要找到第k个元素，我们可以比较 A[k/2 - 1]和 B[k/2 - 1]，其中 / 表示整数除法。我们可以归纳出三种情况：

• 如果A[k/2 - 1] < B[k/2 - 1]，则比A[k/2 − 1] 小的数最多只有 A 的前 k/2-1 个数和 B 的前 k/2-1 个数，即比 A[k/2−1] 小的数最多只有 k-2 个，因此 A[k/2−1] 不可能是第 k 个数，A[0] 到 A[k/2−1] 也都不可能是第 k 个数，可以全部排除。

• 如果 A[k/2−1]>B[k/2−1]，则可以排除 B[0] 到 B[k/2−1]。

• 如果 A[k/2−1]=B[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。

我们可以看到，比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 之后，可以排除 k/2 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，我们将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据我们排除数的个数，减少 k 的值，这是因为我们排除的数都不大于第 k 小的数。

有以下三种情况需要特殊处理：

如果 A[k/2−1] 或者 B[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去 k/2。

如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 k 小的元素。

如果 k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

我们举个例子来说明上述算法思路，假设有两个有序数组如下所示：

A: 1 3 4 9
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

两个有序数组的长度分别是 4 和 9，长度之和是 13，中位数是两个有序数组中的第 7 个元素，因此需要找到第 k [k=7] 个元素。

比较两个有序数组中下标为 k/2-1=2 的数，即A[2] 和 B[2]，如下面所示：

A: 1 3 4 9
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

由于 A[2]>B[2]，因此排除 B[0] 到 B[2]，即数组 B 的下标偏移（offset）变为 3，同时更新 k 的值：k=k-k/2=4。

下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2-1=1 的数，即 A[1] 和 B[4]，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: 1 3 4 9
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9

由于 A[2]=B[3]，根据之前的规则，排除 A 中的元素，因此排除 A[2]，即数组 A 的下标偏移变为 3，同时更新 k 的值： k=k-k/2=1。

由于 k 的值变成 1，因此比较两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数，其中较小的数即为第 k 个数，由于 A[3]>B[3]，因此第 k 个数是 B[3]=4。

A: [1 3 4] 9
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9

代码

Go

func findMedianSortedArrays(nums1 []int, nums2 []int) float64 {
    totalLength := len(nums1) + len(nums2)
    if totalLength%2 == 1 {
        midIndex := totalLength/2
        return float64(getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1))
    } else {
        midIndex1, midIndex2 := totalLength/2 - 1, totalLength/2
        return float64(getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0
    }
    return 0
}

func getKthElement(nums1, nums2 []int, k int) int {
    index1, index2 := 0, 0
    for {
        if index1 == len(nums1) {
            return nums2[index2 + k - 1]
        }
        if index2 == len(nums2) {
            return nums1[index1 + k - 1]
        }
        if k == 1 {
            return min(nums1[index1], nums2[index2])
        }
        half := k/2
        newIndex1 := min(index1 + half, len(nums1)) - 1
        newIndex2 := min(index2 + half, len(nums2)) - 1
        pivot1, pivot2 := nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
        if pivot1 <= pivot2 {
            k -= (newIndex1 - index1 + 1)
            index1 = newIndex1 + 1
        } else {
            k -= (newIndex2 - index2 + 1)
            index2 = newIndex2 + 1
        }
    }
    return 0
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}

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Python

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        def getKthElement(k):
            """
            - 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
            - 这里的 "/" 表示整除
            - nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
            - 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
            - 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
            - 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
            - 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
            """
            
            index1, index2 = 0, 0
            while True:
                # 特殊情况
                if index1 == m:
                    return nums2[index2 + k - 1]
                if index2 == n:
                    return nums1[index1 + k - 1]
                if k == 1:
                    return min(nums1[index1], nums2[index2])

                # 正常情况
                newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1)
                newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1)
                pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
                if pivot1 <= pivot2:
                    k -= newIndex1 - index1 + 1
                    index1 = newIndex1 + 1
                else:
                    k -= newIndex2 - index2 + 1
                    index2 = newIndex2 + 1
        
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        totalLength = m + n
        if totalLength % 2 == 1:
            return getKthElement((totalLength + 1) // 2)
        else:
            return (getKthElement(totalLength // 2) + getKthElement(totalLength // 2 + 1)) / 2

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(log(m+n))，其中 m 和 n 分别是数组 nums_1
  和 nums_2的长度。初始时有 k=(m+n)/2 或 k=(m+n)/2+1，每一轮循环可以将查找范围减少一半，因此时间复杂度是 O(log(m+n))。

• 空间复杂度 ：O(1)