积分专题笔记-曲线面积分三大公式

一、格林公式

01 格林公式

设 $P$，$Q$ 在封闭曲线 $\Gamma$ 包围的有界闭区域 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，

$D$ 的边界 $C$ 是分段光滑曲线，则有公式：( 二重积分与在其边界上的第二型曲线积分的关系 )

${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{[]}{\partial x}-\frac{[]}{\partial y}\right)dxdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ ，其中沿 $\Gamma$ 正向。

记忆：兔子不吃窝边草。

02 向量形式

F = ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) n 0 ⃗  为  C +  的单位外法向量 利用切向量 ⇒ n 0 = ( d y d s , − d x d s ) ∮ C + F ⋅ n 0 ⃗ d s = ∬ D ∇ ⋅ F d σ (  格林公式的向量形式  )

​F=(u(x,y),v(x,y))n0  为 C+ 的单位外法向量利用切向量⇒n0=(dsdy​,−dsdx​)∮C+​F⋅n0 ds=∬D​∇⋅Fdσ( 格林公式的向量形式 )​

03 证明的思路

① 先考虑区域 $D$ 是 $x$ 型正规区域的情况

D = { ( x , y ) ∣ y 1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ) , a ≤ x ≤ b } D=\left\{(x, y) \mid y_{1}(x) \leq y \leq y_{2}(x), a \leq x \leq b\right\} D={(x,y)∣y1​(x)≤y≤y2​(x),a≤x≤b}

证 $\underset{C}{\oint }Pdx=-\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

② 再考虑 $D$ 为一般区域将 $D$ 分割成几个正规区域

二、高斯公式

设有界闭区域立体 $\Omega \subset R^3$ 的边界曲面是分片光滑曲线 $\Sigma$ 指向外侧，若 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ ( 包括 $\Sigma$ ) 上连续且具有连续的一阶偏导数，则
$$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$$
A ⃗ ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A (x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}， d S ⃗ = { d y d z , d z d x , d x d y } d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\} dS ={dydz,dzdx,dxdy} 。

高斯公式可以写成：$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }\vec{A}\cdot d\vec{S}=\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{div}\vec{A}dV$ 。

三、斯托克斯公式

若 $P,Q,R$ 在分片光滑曲面 $\Sigma$ ( 包括边界分段光滑曲线 $L$ ) 连续且具有连续的偏导数，

则 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

​ （ = ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ =\displaystyle{ \left|

\right| } =∣ ∣​dydz∂x∂​P​dzdx∂y∂​Q​dxdy∂z∂​R​∣ ∣​ ，按第一行展开。）

曲面 $\Sigma$ 的方向与边界曲线 $L$ 的方向符合右手法则。

注：以 $L$ 为边界的曲面 $\Sigma$ 有无数个，选择简单的曲面，最好选择平面 $\Sigma$ 。

引入旋度的概念后，斯托克斯公式也可写为：${\oint }_L\vec{A}\cdot d\vec{s}=\mathrm{rot}\vec{A}\cdot \vec{S}$ .