天平秤球问题

天平秤球问题

问题

12个外观一致的小球，其中11个质量一致，1个质量不同，用一个天平，问最少能称几次能找到这个小球。

解答

思路1

最先想到，用二分法，步骤如下：

1. 分两组，1-3、4-6分别上天平两侧；如果平衡，进行步骤2，否则进行步骤3
2. 说明1-6质量一致；将7-12重新编号为1-6，将1-6编号为7-12，进行步骤1
3. 如果1-3更重（1-3更轻，类似），将1-3、7-9分别上天平两侧；如果1-3更重，则目标小球比正常小球重，且在1-3中，继续步骤4；如果平衡，则目标小球比正常小球轻，且在4-6中，继续步骤5；
4. 目标小球较重。将1、2分别上天平两侧，哪个小球中，目标小球就是它，如果平衡，则目标小球是3
5. 目标小球较轻。将4、5分别上天平两侧，哪个小球中，目标小球就是它，如果平衡，则目标小球是6
   最长路径是 1 -> 2 -> 3 -> 4，需要4次

思路2

当然，有更巧妙的方法：

1. 将1-4、5-8放天平两侧
2. 将1-4、9-12放天平两侧
   步骤1/2会有一次平衡的，一次不平衡的，即可找出目标小球所在组，是轻还是重，假设目标在1-4中，且目标小球较重，进行步骤3
3. 将1、2上天平两侧，如果不平衡，则找到目标。如果平衡，则继续步骤4
4. 将3、4上天平两侧，即可找到目标
   总体也需要4次，过程更为对称和巧妙

思考

4次就是最少需要的次数吗，要怎么回答这个问题？

信息熵（information entropy）是信息论的基本概念。描述信息源各可能事件发生的不确定性。20世纪40年代，香农（C.E.Shannon）借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”。

这需要用到信息熵的帮助。我们首先考虑，12个小球，其中有一个质量不一致，不知道是轻是重，这其中有多少中可能性呢？这个目标小球，可能12个小球中任意一个，可轻可重，所以一共有12*2=24种可能。也就是说，这个问题的熵为24。

我们先来一场测试

我们列举第一次放天平的情况，以及统计出天平结果出来后熵的情况，x表示该情况不存在。

对上表进行说明，以第二行为例，5-5-2的分组，

如果天平平衡，则说明目标小球在没有上天平的2个小球中，可轻可重，熵为2*2=4

如果天不平衡，则说明目标小球在上天平的10个小球中。天平不平衡，分位较重组合较轻组，如果在较重组存在5种可能，如果在较轻组也存在5中可能，故熵为10

最大熵为平衡熵、不平衡熵的中较大值

题中问最少需要多少次找到目标，也就是问最坏情况下几次能找到目标，我们应该找到上天平后最大熵最小的一种情况。该情况为4-4-4分组，最大熵为8.

最终方案

所以最终方案如下：
步骤1，将1-4、5-8上天平，如果平衡，则最大熵为8，前往步骤2；如果不平衡，则最大熵为8，前往步骤3；

步骤2：将9-11、1-3上天平，如果平衡，最大熵为2，前往步骤4；如果不平衡，最大熵为3，目标在9-11中，轻重可知，前往步骤5

步骤3：讨论1-4更重的情况，反过来类似。将127、534上天平，如果平衡，则最大熵为2，前往步骤6；如果127更重，最大熵为3（1重2重5轻），前往步骤6；如果534更重，最大熵为3（3重4重7轻），前往步骤7。

步骤4：将12、1上天平，目标为12，看12轻重则知道目标轻重情况

步骤5：将9、10上天平，如果平衡，则11为目标，轻重参考步骤2。如果不平衡，则用步骤2目标轻重的结果选取小球。例如，如果目标是重球，则选取9、10中更重的。

步骤6： 将1、2上天平，如果不平衡，重的为目标；如果平衡，5为目标，为轻球。

步骤7： 将3、4上天平，如果不平衡，重的为目标；如果平衡，7为目标，为轻球。

最终可能的路线：

1 -> 2 -> 4

1 -> 2 -> 5

1 -> 3 -> 6

1 -> 3 -> 7

综上，最小次数为3

其中步骤3是神来之笔，但其实也有迹可循，多尝试不同组合来计算称重后的熵，取最小熵的方式来做即可。

总结

通过上面的尝试，发现一次称重，可以将熵减小为原来的1/3。

普遍来说，如果初始熵为N，问最少多少次能得到结果，则需要$lo{g}_{3}N$向上取整次，拿本题来说$lo{g}_{3}24向上取整为3次$