• 数据结构——新手村级二叉树讲解

    目录

    一，树型结构

    1.什么是树型结构

    2.基础概念

    3.树的表示形式（了解）

    二，二叉树

    1.什么是二叉树

     2.两种特殊的二叉树

     3.二叉树的性质

    4.二叉树的存储

    （1）.顺序存储

    （2）.链式存储

    5.二叉树的遍历

    （1）.什么是遍历

    （2）.前序遍历

    （2）.中序遍历

    （3）.后序遍历

    （4）.层序遍历

    （5）.二叉树的基本操作

    一，树型结构

    1.什么是树型结构

    树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

    特点：

    (1).有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

    (2).除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。

    (3).每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

    (4).树是递归定义的

    (5).子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

     

    2.基础概念

    结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
    树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
    叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
    双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则称其为子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
    孩子结点或子结点：一个结点其下的结点，为该结点的子结点； 如上图：B是A的子结点
    根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
    结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
    树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
    ———————————————————了解即可————————————————————
    非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
    兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
    堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
    结点的祖先：根结点；如上图：A是所有结点的祖先
    子孙：除根结点以外的结点。如上图：所有结点都是A的子孙
    森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

    3.树的表示形式（了解）

    了解：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法

    常用：孩子兄弟表示法

    class Node {
      int value; // 树中存储的数据
      Node firstChild; // 第一个孩子引用
      Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
    }

    二，二叉树

    1.什么是二叉树

    一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
    1. 或者为空
    2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

     2.两种特殊的二叉树

    1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。                满二叉树是一种特殊的完全二叉树。


    2. 完全二叉树:设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，且第h层的叶子结点都是从左到右依次排布的                                                                                        完全二叉树是由满二叉树而引出来的，效率更高，堆排序的数据结构即完全二叉树。

     3.二叉树的性质

    1. 一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点
    2. 深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
    3.  叶结点为 n0, 度为2的结点为 n2,则有n0＝n2＋1
    4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 取整
    5. 具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
    若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
    若2i+12i+1，否则无左孩子；若2i+22*(i+1)，否则无右孩子     6.一颗n个结点的树有n-1条边

    4.二叉树的存储

    二叉树的存储结构分为：顺序存储和链式存储

    （1）.顺序存储

    指使用顺序表（数组）存储二叉树，此存储方法只适用于完全二叉树

    对于一般二叉树，若使用该存储方式，需要添加一些不存在的空结点

     排序为A B C D E F G H I J

    （2）.链式存储

    通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

    二叉链至少包含：左指针域lchild、数据域data、右指针域rchild

    // 孩子表示法
    class Node {
      int val; // 数据域
      Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
      Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    }
    // 孩子双亲表示法
    class Node {
      int val; // 数据域
      Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
      Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
      Node parent;   // 当前节点的根节点
    }

    5.二叉树的遍历

    （1）.什么是遍历

    遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。

    （2）.前序遍历

    前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树

     前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

    void preOrder(TreeNode root){

          if(root==null) return ;

          System.out.print(root.val+" ");

          preOrder(root.left);

          preOrder(root.right);

    }

    （2）.中序遍历

    中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树

     中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

    void inOrder(TreeNode root){

          if(root==null) return ;

          inOrder(root.left);

          System.out.print(root.val+" ");

          inOrder(root.right);

    }

    （3）.后序遍历

    后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点

     后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

    void postOrder(TreeNode root){

          if(root==null) return ;

          postOrder(root.left);

          postOrder(root.right);

          System.out.print(root.val+" ");   

    }

    （4）.层序遍历

    自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程

     层序遍历结果：A B C D E F G H I

    利用队列先进先出的性质

    void levelOrder(TreeNode root){
    if(root==null) return ;
    Queue queue=new LinkedList<>();
    queue.offer(root);
    while(!queue.isEmpty()){
        TreeNode cur=queue.poll();
        System.out.println(cur.val+" ");
        if(cur.left!=null){
            queue.offer(cur.left);
        }
        if(cur.right!=null){
            queue.offer(cur.right);
        }
    }
}

    （5）.二叉树的基本操作

    先实现一个TreeNode类，用于后面的使用

    1. import java.util.*;
    2.  
    3. public class TreeNode {
    4.     public char val;
    5.     public TreeNode left;
    6.     public TreeNode right;
    7.     private TreeNode root;
    8.  
    9.     public TreeNode(char val) {
    10.         this.val = val;
    11.     }
    12.     public void createTree() {
    13.         TreeNode A = new TreeNode('A');
    14.         TreeNode B = new TreeNode('B');
    15.         TreeNode C = new TreeNode('C');
    16.         TreeNode D = new TreeNode('D');
    17.         TreeNode E = new TreeNode('E');
    18.         TreeNode F = new TreeNode('F');
    19.         TreeNode G = new TreeNode('G');
    20.         TreeNode H = new TreeNode('H');
    21.  
    22.         A.left = B;
    23.         A.right = C;
    24.         B.left = D;
    25.         B.right = E;
    26.         C.left = F;
    27.         C.right = G;
    28.         E.right = H;
    29.         this.root = A;
    30.     }

    1.获取树中叶子结点数

    1. public static int leafSize;
    2.  
    3.     int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
    4.         if(root==null){
    5.             return 0;
    6.         }
    7.         if(root.left==null&&root.right==null){
    8.             return 1;
    9.         }
    10.         return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
    11.  
    12.     }

    2.获取树中结点数

    1. int getLeafSize(TreeNode root) {
    2.         if(root==null){
    3.             return 0;
    4.         }
    5.         if(root.left==null&&root.right==null){
    6.             leafSize++;
    7.         }
    8.         getLeafNodeCount2(root.left);
    9.         getLeafNodeCount2(root.right);
    10.         return leafSize;
    11.  
    12.     }

    3.获取树的高度

    1. int getHeight(TreeNode root){
    2.         if(root==null){
    3.             return 0;
    4.         }
    5.         int leftHeight=getHeight(root.left);
    6.         int rightHeight=getHeight(root.right);
    7.         int max=leftHeight>rightHeight?leftHeight:rightHeight;
    8.         return max+1;
    9.  
    10.     }

    4.检测val的元素是否存在

    1. TreeNode find(TreeNode root ,int val){
    2.         if(root==null)return null;
    3.         if(root.val==val){
    4.             return root;
    5.         }
    6.         TreeNode ret1=find(root.left,val);
    7.         if(ret1!=null){
    8.             return ret1;
    9.         }
    10.         TreeNode ret2=find(root.right,val);
    11.         if(ret2!=null){
    12.             return ret2;
    13.         }
    14.         return null;
    15.     }

    5.判断是否为完全二叉树

    1. boolean isCompleteTree(TreeNode root){
    2.         if(root==null) return true ;
    3.         Queue queue=new LinkedList<>();
    4.         queue.offer(root);
    5.         while(!queue.isEmpty()){
    6.             TreeNode cur=queue.poll();
    7.             if(cur!=null){
    8.                 queue.offer(cur.left);
    9.                 queue.offer(cur.right);
    10.             }else break;
    11.         }
    12.         while(!queue.isEmpty()){
    13.             TreeNode cur=queue.poll();
    14.             if(cur!=null){
    15.                 return false;
    16.             }else{
    17.                 queue.poll();
    18.             }
    19.         }
    20.         return true;
    21.  
    22.     }

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_63056061/article/details/125987275