• 常见的数学物理方程

    • 叠加原理
      • 线性方程的解可以分解为几个部分的线性叠加
    • 定解问题
      • n阶常微分方程的通解含有n个任意常数
      • 需要附加n个条件才能完全确定这些常数
    • 初始条件
      • 意义
        • 反应系统的特定历史
      • 分类
        • 初始状态
        • 初始变化
    • 边界条件
      • 意义
        • 反应特定环境对系统的影响
      • 分类
        • 按条件中未知函数及其导数的次数分类
          • 线性边界条件
            • 按给出的函数值或者导数值分类
              • 第一类边界条件
              • 第二类边界条件
              • 第三类边界条件
            • 按所给数值是否为零分
              • 齐次边界条件
              • 非齐次边界条件
            • 举例
              • 一维弦振动方程
                • 固定端
                • 受力端
              • 一维杆振动
                • 固定端
                • 自由端
                • 受力端
              • 一维热传导
                • 恒温端
                • 绝热端
                • 吸热端
          • 非线性边界条件
          • 自然边界条件
            • 周期性
            • 有界性
    • 定解问题
      • 定解问题的组成
        • 泛定方程
          • 反映同一类现象的普遍性
          • 演化方程
            • 波动方程
            • 输运方程
          • 稳定方程
            • 拉普拉斯方程
            • 泊松方程
        • 定解条件
          • 描述具体对象的特殊性
      • 定解问题的分类
        • 初值问题
          • 无边界条件
        • 边值问题
          • 无初始条件
            • 第一边值问题
            • 第二边值问题
            • 第三边值问题
        • 混合问题
      • 定解问题的适定性
        • 适定性的意义
          • 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求
        • 适定性的内容
          • 存在性
          • 唯一性
          • 稳定性
        • 不适定问题举例
          • 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数
          • 过多的条件会破坏解的存在性
          • 过少的条件会破坏解的唯一性
    • 达朗贝尔公式
      • 定解问题的求解思路
      • 泛定方程的求解
        • 常微分方程
        • 偏微分方程
        • 二阶方程
      • 达朗贝尔公式的推导
      • 达朗贝尔公式的应用

    • 二阶常微分方程
      • 常用齐次定解问题
        • 问题要素
          • 泛定方程
            • 演化方程
            • 稳定方程
          • 边界形状
            • 矩形
            • 圆形
            • 球形
          • 初始条件
        • 拉普拉斯算符的形式  
      • 数学物理中的对称性
        • 对称性
          • 对称性就是在某种变换下的不变性
          • 对称性原理
            • 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也有同样的对称性
          • 对称性分类
            • 时空对称性
              • 时间
                • 时间平移对称性
                • 时间反演对称性
              • 空间
                • 空间平移对称性
                • 空间反演对称性
                • 空间转动对称性
            • 动力学对称性
      • 特殊函数常微分方程
        • 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
          • 一般情况
            • 欧拉方程
            • 球函数方程
            • 连带勒让德方程
          • 轴对称情况
            • 勒让德方程
        • 极坐标下热传导方程的分离变量
          • 一般情况
            • 亥姆霍兹方程
            • 贝塞尔方程
          • 轴对称情况
      • 常微分方程的级数解法
        • 常微分方程中点的分类
          • 二阶变系数常微分方程的一般形式
          • 方程中点的分类
            • 常点
            • 正则奇点
            • 非正则奇点
          • 各点领域级数解的形式
            • 常点领域
            • 正则奇点领域
            • 非正则奇点领域
          • 勒让德方程的级数解
          • 贝塞尔方程的级数解
      • 斯图姆-刘维尔本征值问题
        • 本征值问题
          • 本征值
            • 使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值
          • 本征函数
            • 相应的非零解
          • 本征值问题
            • 求本征值和本征函数的问题
        • 斯图姆-刘维尔本征值问题
          • 斯图姆-刘维尔本征值方程
          • 斯图姆-刘维尔本征值边界条件
        • 斯图姆-刘维尔本征值问题的性质
          • 可数性：存在可数无限多个本征值
          • 非负性：所有本征值均为非负值
          • 正交性:对应不同本征值的本征函数代权正交
          • 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开
    • 球函数
      • 轴对称问题和勒让德多项式
        • 轴对称拉普拉斯方程的求解
        • 勒让德多项式
        • 勒让德多项式的母函数和递推公式
        • 勒让德多项式的性质
        • 勒让德多项式的应用
    • 柱函数
      • 柱函数的基本性质
      • 贝塞尔方程本征值问题
      • 转动对称柱面问题
      • 一般柱面问题
    • 格林函数法
      • 格林函数的一般概念
        • 定义：纯点源产生的场
      • 稳定问题的基本解
      • 稳定问题的格林函数
      • 演化问题的基本解
      • 演化问题的格林函数
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