向量三重积的等式推导证明

目标：最近在看论文，需要一些基本的公式推理，经常遇到三重积的等式。为了更深入的理解。因此推导一下这类公式。

定义：
向量三重积
$$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$$

其中$\overrightarrow{a}=(a_0,a_1,...,a_n)$; $\overrightarrow{b}=(b_0,b_1,...,b_n)$;$\overrightarrow{c}=(c_0,c_1,...,c_n)$

在空间向量中一般$n=3$

证明，它有两种方法可以证明

第一种是最简单的方式，直接展开左右两边的项。
对于叉乘一般情况下是可以转化为矩阵和向量的乘积。转化表示为下面
S k e w ( a ) = [ 0    − a 2    a 1 a 2    0    − a 0 − a 1    a 0    0 ] Skew(a) =

Skew(a)=⎣ ⎡​0  −a2​  a1​a2​  0  −a0​−a1​  a0​  0​⎦ ⎤​
因此得到左边公式为：
a → × ( b → × c → ) = s k e w ( a → ) ( s k e w ( b → ) c → ) = [ 0    − a 2    a 1 a 2    0    − a 0 − a 1    a 0    0 ] [ 0    − b 2    b 1 b 2    0    − b 0 − b 1    b 0    0 ] [ c 0 c 1 c 2 ] = [ 0    − a 2    a 1 a 2    0    − a 0 − a 1    a 0    0 ] [ b 1 c 2 − b 2 c 1 b 2 c 0 − b 0 c 2 b 0 c 1 − b 1 c 0 ] = [ − a 2 ( b 2 c 0 − b 0 c 2 ) + a 1 ( b 0 c 1 − b 1 c 0 ) a 2 ( b 1 c 2 − b 2 c 1 ) − a 0 ( b 0 c 1 − b 1 c 0 ) − a 1 ( b 1 c 2 − b 2 c 1 ) + a 0 ( b 2 c 0 − b 0 c 2 ) ] = [ ( a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 0 − ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 0 ( a 0 c 0 + a 2 c 2 ) b 1 − ( a 0 b 0 + a 2 b 2 ) c 1 ( a 0 c 0 + a 1 c 1 ) b 2 − ( a 0 b 0 + a 1 b 1 ) c 2 ] = [ ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 0 − ( a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 0 ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 1 − ( a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 1 ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 2 − ( a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 2 ] = ( a → ⋅ c → ) ⋅ b → − ( a → ⋅ b → ) ⋅ c → \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) \\ =skew(\overrightarrow{a})(skew(\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}) \\ =

[0  −a2  a1a2  0  −a0−a1  a0  0]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢0  −a2  a1a2  0  −a0−a1  a0  0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}0-a_2{a}_1\\ a_{2}0-a_0\\ -a_1{a}_{0}0\end{array}\right]$$

[0  −b2  b1b2  0  −b0−b1  b0  0]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢0  −b2  b1b2  0  −b0−b1  b0  0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}0-b_2{b}_1\\ b_{2}0-b_0\\ -b_1{b}_{0}0\end{array}\right]$$

[c0c1c2]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢c0c1c2⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\end{array}\right]$$

=

[0  −a2  a1a2  0  −a0−a1  a0  0]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢0  −a2  a1a2  0  −a0−a1  a0  0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}0-a_2{a}_1\\ a_{2}0-a_0\\ -a_1{a}_{0}0\end{array}\right]$$

[b1c2−b2c1b2c0−b0c2b0c1−b1c0]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢b1c2−b2c1b2c0−b0c2b0c1−b1c0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{b}_1{c}_2-b_2{c}_1\\ b_2{c}_0-b_0{c}_2\\ b_0{c}_1-b_1{c}_0\end{array}\right]$$

\\ \\ =

[−a2(b2c0−b0c2)+a1(b0c1−b1c0)a2(b1c2−b2c1)−a0(b0c1−b1c0)−a1(b1c2−b2c1)+a0(b2c0−b0c2)]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢−a2(b2c0−b0c2)+a1(b0c1−b1c0)a2(b1c2−b2c1)−a0(b0c1−b1c0)−a1(b1c2−b2c1)+a0(b2c0−b0c2)⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}-a_2(b_2{c}_0-b_0{c}_2)+a_1(b_0{c}_1-b_1{c}_0)\\ a_2(b_1{c}_2-b_2{c}_1)-a_0(b_0{c}_1-b_1{c}_0)\\ -a_1(b_1{c}_2-b_2{c}_1)+a_0(b_2{c}_0-b_0{c}_2)\end{array}\right]$$

=

[(a1c1+a2c2)b0−(a1b1+a2b2)c0(a0c0+a2c2)b1−(a0b0+a2b2)c1(a0c0+a1c1)b2−(a0b0+a1b1)c2]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢(a1c1+a2c2)b0−(a1b1+a2b2)c0(a0c0+a2c2)b1−(a0b0+a2b2)c1(a0c0+a1c1)b2−(a0b0+a1b1)c2⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}(a_1{c}_1+a_2{c}_2)b_0-(a_1{b}_1+a_2{b}_2)c_0\\ (a_0{c}_0+a_2{c}_2)b_1-(a_0{b}_0+a_2{b}_2)c_1\\ (a_0{c}_0+a_1{c}_1)b_2-(a_0{b}_0+a_1{b}_1)c_2\end{array}\right]$$

\\ =

[(a0c0+a1c1+a2c2)b0−(a0b0+a1b1+a2b2)c0(a0c0+a1c1+a2c2)b1−(a0b0+a1b1+a2b2)c1(a0c0+a1c1+a2c2)b2−(a0b0+a1b1+a2b2)c2]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢(a0c0+a1c1+a2c2)b0−(a0b0+a1b1+a2b2)c0(a0c0+a1c1+a2c2)b1−(a0b0+a1b1+a2b2)c1(a0c0+a1c1+a2c2)b2−(a0b0+a1b1+a2b2)c2⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}(a_0{c}_0+a_1{c}_1+a_2{c}_2)b_0-(a_0{b}_0+a_1{b}_1+a_2{b}_2)c_0\\ (a_0{c}_0+a_1{c}_1+a_2{c}_2)b_1-(a_0{b}_0+a_1{b}_1+a_2{b}_2)c_1\\ (a_0{c}_0+a_1{c}_1+a_2{c}_2)b_2-(a_0{b}_0+a_1{b}_1+a_2{b}_2)c_2\end{array}\right]$$

= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) \cdot\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \cdot\overrightarrow{c} a ×(b ×c )=skew(a )(skew(b )c )=⎣ ⎡​0  −a2​  a1​a2​  0  −a0​−a1​  a0​  0​⎦ ⎤​⎣ ⎡​0  −b2​  b1​b2​  0  −b0​−b1​  b0​  0​⎦ ⎤​⎣ ⎡​c0​c1​c2​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​0  −a2​  a1​a2​  0  −a0​−a1​  a0​  0​⎦ ⎤​⎣ ⎡​b1​c2​−b2​c1​b2​c0​−b0​c2​b0​c1​−b1​c0​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​−a2​(b2​c0​−b0​c2​)+a1​(b0​c1​−b1​c0​)a2​(b1​c2​−b2​c1​)−a0​(b0​c1​−b1​c0​)−a1​(b1​c2​−b2​c1​)+a0​(b2​c0​−b0​c2​)​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​(a1​c1​+a2​c2​)b0​−(a1​b1​+a2​b2​)c0​(a0​c0​+a2​c2​)b1​−(a0​b0​+a2​b2​)c1​(a0​c0​+a1​c1​)b2​−(a0​b0​+a1​b1​)c2​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​(a0​c0​+a1​c1​+a2​c2​)b0​−(a0​b0​+a1​b1​+a2​b2​)c0​(a0​c0​+a1​c1​+a2​c2​)b1​−(a0​b0​+a1​b1​+a2​b2​)c1​(a0​c0​+a1​c1​+a2​c2​)b2​−(a0​b0​+a1​b1​+a2​b2​)c2​​⎦ ⎤​=(a ⋅c )⋅b −(a ⋅b )⋅c

证明完毕。

第二种方法: 具有几何意义的方式。它具有启发式的那种。建议使用这种方式来证明上面的三重积的等式。
为了能够方便大家理解，画出图像，得到下图

因为叉乘的积，是两个向量的垂直向量。比如$\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$,它是垂直于$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$的两个向量所在的平面。
同时任意的向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$叉乘。得到的向量一定是平行于$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$的两个向量所在的平面。(红色的线段表示)。因此可以写成如下：
$$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$
因为红色向量$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$和$\overrightarrow{a}$垂直。因此：
$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}))=0 \\ =>\overrightarrow{a}\cdot (m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c})=0 \\ =>m(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+n(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})=0 \end{gathered}$$
为了解决上面的公式，我们使用构造法，构造两个数使得上面的公式成立。构造如下：
存在$p\in R$;且$m=p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})$;$n=-p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$,使得上面的公式恒成立。为了方便理解，构造的项带入公式$m(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+n(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})=0$
$$\begin{gathered} m(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+n(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})=0 \\ =p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})-p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})=0 \end{gathered}$$
代入的等式可以看到上面是一个中恒等式。

上面的等式与向量$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$取值无关。
因此将$m=p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})$;$n=-p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$，代入到$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$,得到如下公式：
$$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}=p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$$

因为上面公式和向量$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$无关，可以采用简单的向量$\overrightarrow{a}=[1,1,1]$;$\overrightarrow{b}=[0,1,0]$;$\overrightarrow{c}=[0,0,1]$
带入相应的简单的公式，就可以得到$p=1$
证明完毕。

参考资料如下：
https://www.youtube.com/watch?v=4U5fkwYDvZg