算法：时间复杂度

1. 算法的效率

虽然计算机能快速的完成运算处理，但实际上，它也需要根据输入数据的大小和算法效率来消耗一定的处理器资源。要想编写出能高效运行的程序，我们就需要考虑到算法的效率。

算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：

时间复杂度：评估执行程序所需的时间。可以估算出程序对处理器的使用程度。
空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间。可以估算出程序对计算机内存的使用程度。

设计算法时，一般是要先考虑系统环境，然后权衡时间复杂度和空间复杂度，选取一个平衡点。不过，时间复杂度要比空间复杂度更容易产生问题，因此算法研究的主要也是时间复杂度，不特别说明的情况下，复杂度就是指时间复杂度。

首先我们来介绍时间复杂度：

2. 时间复杂度中的几个概念

时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

时间复杂度

前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示

若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

也就是O(f(n))是时间复杂度，f(n)是一个辅助函数，这个辅助函数约等于这个T(n)，T(n)是时间频度，时间频度是一个算法中的语句执行次数，这个次数用一个函数表示。

总结：时间复杂度就是算法语句执行次数的函数

比如说：双层for循环：

int count=0;
for(int i=0;i<n;i++){
	for(int j=0;j<n;j++){
		count++;
	}
}
1
2
3
4
5
6

这个count变量执行了n²次，他的时间复杂度就是O（n²）

不会别激动，先往下看：

3. 大O表示法

像前面用O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。

算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，由于平均情况大多和最坏情况持平，而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧，因此一般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。

大O表示法O(f(n))中的f(n)的值可以为1、n、logn、n²等，因此我们可以将 O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，那么如何推导出f(n)的值呢？

我们接着来看推导大O阶的方法。

大O阶推导规则

推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法：

推导规则：

1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

大O阶推导示例解析

1. 常数阶

先举了例子，如下所示。

int sum = 0,n = 100; 		//执行一次 
sum = (1+n)*n/2; 			//执行一次 
System.out.println (sum); 	//执行一次
1
2
3

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。

如果sum = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，我们可以称之为常数阶。

2. 线性阶

线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
	//时间复杂度为O(1)的算法
	......
}
1
2
3
4

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

3. 对数阶

接着看如下代码：

int number=1;
while(number<n){
    number=number*2;
    //时间复杂度为O(1)的算法
    …
}
1
2
3
4
5
6

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

注意：而无论底数 a 取值，时间复杂度都可记作O(logN)

4. 平方阶

下面的代码是循环嵌套：

for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=0;j<n;i++){
	    //复杂度为O(1)的算法
		......
    }
}
1
2
3
4
5
6

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。

接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=i;j<n;i++){
        //复杂度为O(1)的算法
        ......
    }
}
1
2
3
4
5
6

需要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2。
根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

5. 指数阶

生物学科中的 “细胞分裂” 即是指数级增长。初始状态为 1 个细胞，分裂一轮后为 2 个，分裂两轮后为 4个，……，分裂 N 轮后有 2^N 个细胞。

例如：要问第N次分裂多少细胞，要是用递归代码如下：

int calsum(int N) {
    if (N <= 0) return 1;
    int c1= calsum(N - 1);
    int c2= calsum(N - 1);
    return c1 + c2;
}
1
2
3
4
5
6

这个算法递归 2^N 次，所以算法是O（ 2^N ）

6. 阶乘

阶乘阶对应数学上常见的 “全排列” 。即给定 N 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案：

7. 线性对数

涛哥说：一般就是树。
还有下面那些排序算法
涛哥说：你别管看见树就nlog(n)
详细的不写了，吐血了

4.复杂度的比较

O(1)

扩展：数组排序算法

常见算法复杂度对比
快速排序 nlogn
堆排序 nlogn
冒泡排序 在改良的冒泡下 最优时间复杂度为n
插入排序 最优下n
选择排序 n*n
归并 nlogn

对N个数进行排序,在各自最优条件下以下算法复杂度最低的是：插入排序。