矩阵分析与应用-11-向量子空间的基

向量子空间的基

定义 1 向量 x_1,x_2,...,x_d 的所有线性组合的集合称为由张成(或生成)的子空间或闭包(closure)，记作

$W=Span\left \{ x_1,x_2,...,x_d\right\}=Close\left \{ x_1,x_2,...,x_d \right\}$

向量 x_1,x_2,...,x_d 称为子空间W的张成集(spanning set)或生成元(generator)。

定义 2 生成子空间W的线性无关的向量{ u_1,u_2,..,u_d }称为子空间W的基向量(basis vectors)或简称为基。生成子空间W的基向量的个数称为子空间W的维数，即有

$d=dim\left\{Span\left \{ u_1,u_2,...,u_d\right\}\right\}$

注意：{ u_1,u_2,..,u_d }只是子空间W的一组基，并非唯一的基。这是因为，对于n阶向量空间的一个d维子空间W而言，向量空间V中任何d个线性无关向量的集合都张成子空间W。虽然一个子空间可能存在许多基的选择，但是所有基都具有相同的向量个数。

定义 3 若{ $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ }和 { $\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$ }是两组不同的基，并且 $\alpha_i^H\beta_i = 0$ ，则称其中-组基是另外一组基的对偶基(dual basis)。

定义 4 令{ x_1,x_2,...,x_n }是子空间Span{}的基向量。若这些基向量满足正交条件

$<x_i,x_j>=x_i^Tx_j=0,\forall i\neq j$

则称这些基向量为正交基向量。

定义 5 若正交基向{ x_1,x_2,...,x_n }中所有向量的范数均等于1，即

||x_i||=1,i=1,2,...,n

向量空间的子空间具有以下性质。

1.设 W_1 和 W_2 。是向量空间V中的两个子空间，则它们的交集 W_1 ∩ W_2 也是V的子空间。

2.设 W_1 和 W_2 .是向量空间V中的子空间，则和 W_1 + W_2 也是V的子空间。

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