浮点数的表示与运算

1. 浮点数的表示

类似十进制，二进制的小数点移动同样是乘以基数2的N次方，正的N次方数代表右移小数点，负的N次方代表左移小数点

而在十进制中，有我们熟悉的科学计数法来简便大数的表达，同样二进制也有浮点数表示法来表示简便大数的表示
让同样N位二进制的数能比原码表示更大范围的数

浮点数的基本构成：

2. 浮点数规格化

同样还是参照十进制的科学计数法
因为对于十进制的10的N次幂写法有多种多样，除了要省去多余的0以外，还要保证小数部分都在开区间（-10，0）U（0，10）内，以此来统一科学计数法的表达方式

而二进制也有同十进制科学计数法类似的表达方式，即规格化浮点数，其中包括两种操作

• 左归：尾数算术左移一位，阶码减一，左归可能需要多次
• 右归：当浮点数运算的结果尾数发生溢出（双符号位为01或10），则尾数算术右移一位，阶码加一，只需要进行一次

规格化的尾数形式：

• 原码正数规格化后为【0.1xxx x】的形式
  
• 原码负数规格化后位【1.1xxx x】的形式
  
• 补码正数规格化后为【0.1xxx x】的形式（正数补码不变，所以和正数原码一样）
  
• 补码负数规格化后为【1.0xxx x】的形式
  

3. IEEE 754标准

由于浮点数中阶码和尾数的位数没有一个明确的要求，则在使用的过程难免会有不统一的情况，于是就有了IEEE 754标准
按照IEEE 754的标准，常用浮点数的格式如下：

其中在IEEE 754标准中，对于阶码和尾数的位数有如下标准（短浮点数和长浮点数分别对应C语言的float和double类型）

（1）关于阶码的移码表示：
从IEEE 754标准的浮点数格式中我们发现，只有一个数符来代表尾数的正负，那么阶码的正负如何计算呢？
例如在短浮点数中，阶码的位数是8bit

• 视为有符号数来表示范围为 [ -127，+127 ]
• 视为无符号数来表示范围为 [ 0，+255 ]

其中0（全0）代表该数为非规格化数，255（全1）表示无穷大，即阶码超出了浮点数可表示的范围

于是我们可以用无符号数的范围去表示有符号位的范围，正好对应着移码的表示方式，通过偏置值来将转换数值
例如阶码的移码表示值为96，通过偏置值减去127得到实际阶码的值为【-31】

（2）关于尾数的原码表示：
在浮点数规格化操作中我们可以知道，原码尾数的正数和负数规格化后小数点后第一位必然为1
所以在IEEE 754标准中，小数点后的1不必存储下来，使得尾数能多表示一位，在读取浮点数的时候默认小数点后有一位1
例如：【+1100】规格化后为【0.11 × 2⁴】，其中阶码部分为【4 + 127 = 131】

4. 浮点数的加减法

浮点数的加减法包括五步：

1. 对阶：小阶向大阶靠齐，使两个浮点数的阶数相同，该过程可能会发生位数低位丢失导致精度丢失

2. 尾数加减：原码加减法

3. 规格化：根据尾数的形式进行规格化

4. 舍入：假设尾数只有8位，则在上述对阶和右规的过程中都发生了低位丢失
   （1）“0”舍“1”入：若丢弃位为0，则直接舍去，若丢弃位为1，则尾数末位进1（可能会再次溢出）
   （2）恒置“1”法：丢弃位丢弃后，尾数末尾始终置为1，可能会使尾数增大（正数）和变小（负数）

5. 溢出判断：
   （1）由于尾数溢出时会通过右规使得尾数不再溢出，于是会导致阶码的增大
   （2）所以判断两个浮点数运算结果是否溢出，只需判断阶码是否溢出即可（同定点数的判断方法）