题目链接:P5142 区间方差
题意:
对于一个长度为 n n n 的序列 a 1 , a 2 , a 3 ⋯ a n a_1,a_2,a_3\cdots a_n a1,a2,a3⋯an,我们定义它的平均数 a a a 为:
a = 1 n ∑ i = 1 n a i a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i a=n1i=1∑nai
并定义它的方差 d d d 为:
d = 1 n ∑ i = 1 n ( a i − a ) 2 d=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_i-a)^2 d=n1i=1∑n(ai−a)2
现在给定一个长度为 n n n 的序列 a 1 , a 2 ⋯ a n a_1,a_2\cdots a_n a1,a2⋯an。你需要支持两种操作。每种操作的格式为c x y
。若 c = 1 c=1 c=1,为修改操作,代表将 a x a_x ax 赋值为 y y y。
若 c = 2 c=2 c=2,为查询操作,代表查询 a x a_x ax 到 a y a_y ay 的方差。
为了避免浮点数误差,请以分数取模形式输出结果(对 1000000007( 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7)取模)。
对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ n , m ≤ 1 × 1 0 5 1\leq n,m\leq 1\times 10^5 1≤n,m≤1×105, 1 ≤ a i ≤ 1 × 1 0 9 1\leq a_i\leq 1\times 10^9 1≤ai≤1×109, 1 ≤ x ≤ n 1\leq x\leq n 1≤x≤n。对于操作 1, 1 ≤ y ≤ 1 × 1 0 9 1\leq y\leq 1\times 10^9 1≤y≤1×109。对于操作2, x ≤ y ≤ n x\leq y\leq n x≤y≤n。
方差有个更快的公式
∑
i
=
1
n
a
i
2
n
−
a
2
\dfrac{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}{n} - a^2
n∑i=1nai2−a2
推导过程很简单,只要把那个
(
a
−
a
i
)
2
(a-a_i)^2
(a−ai)2 展开就好了
这样我们就只要维护两个数组
S
1
=
∑
i
=
l
r
a
i
S
2
=
∑
i
=
l
r
a
i
2
单点修改都不需要懒标记,很水吧
不过这个取模除法,所以要算个逆元
因为 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 是个质数,而且 a i ≤ 1 0 9 a_i \le 10^9 ai≤109
所以直接用费马小定理那个东西求个逆元就好了
时间复杂度 O ( m log ( n a i ) ) O(m \log (na_i)) O(mlog(nai))
代码:
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
namespace FastIO
{
#define gc() readchar()
#define pc(a) putchar(a)
#define SIZ (int)(1e6+15)
char buf1[SIZ],*p1,*p2;
char readchar()
{
if(p1==p2)p1=buf1,p2=buf1+fread(buf1,1,SIZ,stdin);
return p1==p2?EOF:*p1++;
}
template<typename T>void read(T &k)
{
char ch=gc();T x=0,f=1;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
k=x*f;
}
template<typename T>void write(T k)
{
if(k<0){k=-k;pc('-');}
static T stk[66];T top=0;
do{stk[top++]=k%10,k/=10;}while(k);
while(top){pc(stk[--top]+'0');}
}
}using namespace FastIO;
#define N (int)(1e5+15)
const int p=1e9+7;
int n,Q,a[N],sum1[N<<2],sum2[N<<2];
#define ls(x) ((x)<<1)
#define rs(x) ((x)<<1|1)
int qpow(int a,int b)
{
int ans=1,base=a%p;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*base%p;
base=base*base%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
int inv(int x){return qpow(x,p-2);}
void push_up(int at)
{
sum1[at]=(sum1[ls(at)]+sum1[rs(at)])%p;
sum2[at]=(sum2[ls(at)]+sum2[rs(at)])%p;
}
void build(int l,int r,int at)
{
if(l==r)
{
sum1[at]=a[l]%p;
sum2[at]=a[l]%p*a[l]%p;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,ls(at));
build(mid+1,r,rs(at));
push_up(at);
}
void modify(int x,int l,int r,int k,int at)
{
if(l==r)
{
sum1[at]=k%p;
sum2[at]=k%p*k%p;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)modify(x,l,mid,k,ls(at));
else modify(x,mid+1,r,k,rs(at));
push_up(at);
}
int query1(int nl,int nr,int l,int r,int at)
{
if(nl<=l&&r<=nr) return sum1[at]%p;
int mid=(l+r)>>1;
int res=0;
if(nl<=mid) res=(res+query1(nl,nr,l,mid,ls(at)))%p;
if(nr>mid) res=(res+query1(nl,nr,mid+1,r,rs(at)))%p;
return res;
}
int query2(int nl,int nr,int l,int r,int at)
{
if(nl<=l&&r<=nr) return sum2[at]%p;
int mid=(l+r)>>1;
int res=0;
if(nl<=mid) res=(res+query2(nl,nr,l,mid,ls(at)))%p;
if(nr>mid) res=(res+query2(nl,nr,mid+1,r,rs(at)))%p;
return res;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
// freopen("check.in","r",stdin);
// freopen("check.out","w",stdout);
read(n);read(Q);
for(int i=1; i<=n; i++)
read(a[i]);
build(1,n,1);
for(int op,x,y; Q--; )
{
read(op); read(x); read(y);
if(op==1) modify(x,1,n,y,1);
else
{
int t1=query2(x,y,1,n,1);
int t2=query1(x,y,1,n,1);
int t3=inv(y-x+1);
t1=t1%p*t3%p;
t2=t2%p*t3%p;t2=t2%p*t2%p;
write(((t1-t2)%p+p)%p);pc('\n');
}
}
return 0;
}