Lyapunov稳定性分析3（离散时间系统）

注：Lyapunov稳定性理论主要内容：李雅普诺夫第一方法和第二方法，本篇文章继续上一篇分析线性离散时间系统稳定性，非线性系统稳定性将单独写文章进行分析！敬请关注，谢谢~

一、李雅普诺夫稳定性判定

1.1 Lyapunov两类稳定性方法分析：

（1）Lyapunov渐近稳定的充要条件（第一方法）：A的特征值模均小于1；
（2）Lyapunov渐近稳定的充要条件（第二方法）：对于任意的正定矩阵Q，存在**正定矩阵P**满足Lyapunov方程：

证明：
和连续时间系统一样，取Lyapunov函数为：

则有


与连续时间系统一样，令：

即为Lyapunov方程，则：

只要Q正定，Lyapunov函数变化率为负数，能量随着时间增加肯定逐渐减小至收敛。和连续时间系统一样，一般也是先确定Q，然后求解Lyapunov方程，最后找到正定的P，Q一般取单位阵。

1.2 总结：

二、举例

eg1. 确定二阶系统在原点处的稳定性


在Lyapunov方程中，取Q =I，得


从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。

eg2. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件