线性卷积和循环卷积（圆周卷积）

一、线性卷积：

一个输入经过一个线性时不变系统，得到的输出就是线性卷积。

举例：
x[n] = [1, 3, 2, 4];
h[n] = [2, 1, 3];

y[n] = [2, 7, 10, 19, 10, 12];

矩阵表示形式：

输出的长度等于两个输入长度的和减一（L1 + L2 - 1）.

二、循环卷积

x[n] 和 h[n]都是周期的，下面公式中的h((n-m))不同于线性卷积的翻转，此处为圆周翻装。

（1）N = 4
不够N的需要padding 0

（2） N = 5

(3) N = 6

y[n] = [2, 7, 10, 19, 10, 12];

由上面可以看出，当N≥L1+L2-1时，线性卷积的结果和圆周卷积结果一致。公式证明：

最后这个公式的意义：
两个信号做线性卷积，然后以圆周卷积的周期L去做延拓，再取周期信号的主值空间（0 … L-1），中间yl线性卷积的长度是L1+L2-1，所以取L去做周期延拓的时候L≥L1+L2-1才不会混叠。

如上图所示：N=4或者5的时候，都发生了混叠，只有N大于等于6，才不会混叠。

三、结论：

N≥L1+L2-1时，线性卷积等于圆周卷积。

四、应用：

DFT：
圆周卷积的性质：时域的圆周卷积等于频域乘积，当计算时域线性卷积时，可以通过圆周卷积的性质，在频域通过简单乘法得到，前提是N≥L1+L2-1，圆周卷积才等于线性卷积。