线性代数-3

主要内容：

1. 线性方程组 解的判定 及 解法。

2. 向量组的线性相关，极大无关组 以及 向量组的秩。

============================================

1. 线性方程组的解

1） 消元法：在消元法中，会对方程组中的各个方程做处理，实际的处理包括三种：

（1）交换方程组中两个方程的位置-------对调矩阵的两行。

（2）某个方程两边同乘某个数----------矩阵某行数乘

        （3）某个方程两边同城一个数以后加到另一个方程两边------矩阵行之间的乘加

综上，常用于线性方程组解答中的消元法，实际就是对线性方程组的系数矩阵和常数项向量组成的矩阵（后面会介绍，这种矩阵称为增广矩阵）进行三种 初等变换。 注意，线性方程组中等号右侧的称为常数项，不需要变换符号。（对应矩阵中最右边的一列）

注意：消元法最终得到的就是行最简型矩阵（行阶梯型矩阵的首个非零元素坐在的列其余元素均为0）。

2） 线性方程组的解： 以上述方程组为例。

（1）线性方程组与矩阵的关系：首先，线性方程组可以看作是两个矩阵的乘法。以上述方程组为例，记作Ax=b ， 其中

                     Amn   即 m行 n列矩阵，称为系数矩阵。

                     Xn1    即 n行 1列列向量，称为未知数列向量。

                     bm1    即m行 1列向量， 称为常数项列向量。

可见Amn 和 bm1 的行数一致，所以称 Amn 和 bm1 组成的 m行 （n+1）列矩阵Bm(n+1)为线性方程组的增广矩阵。

特别的，增广矩阵中常数项列向量在矩阵中不需要变号。

 （2）齐次线性方程组  和  非齐次线性方程组

        （a）当常数项列向量非零时，称为非齐次线性方程组

        （b）当常数项列向量为零时，称为齐次线性方程组

综上，要求解线性方程组，就是将系数矩阵和常数项列向量组成的增广矩阵化简为行最简型矩阵即可，对行阶梯型矩阵和行最简型矩阵复习如下：

（8）行阶梯形矩阵：（a）零行位于非零行的下面； （b）各非零行的首个非零元素的列标随着行标的增加而增加。 

（9）行最简形矩阵：（a）行阶梯形矩阵  （b）各行的首个非零元素为1  （c）各行的首个非零元素[1]所在的列的其他元素均为0.