20220701 Barbalat引理证明

(Barbalat 引理) 如果可微函数 $f(t)$, 当 $t\to \infty$ 时存在有限极限, 且 $\dot{f}(t)$ 一致连续, 那么当 $t\to \infty$ 时, $\dot{f}(t)\to 0$。

证明（反证法）：
假设当 $t\to \infty$ 时，$\dot{f}(t)\to 0$ 不成立，那么存在一个递增无穷序列 { t n } n ∈ N \{t_n\}_{n\in\mathbb{N}} {tn​}n∈N​ 使得（1）当 $n\to \infty$ 有 $t_n\to \infty$ ；（2）$|\dot{f}(t_n)|⩾ϵ>0$ 对于所有 { t n } \{t_n\} {tn​}。

考虑 $\dot{f}(t)$ 的一致连续性，根据 $ϵ-\delta$ 理论，存在某个 $ϵ>0$ ，使得对于所有 $n\in \mathbb{N}$ 和 所有 $t\in \mathbb{R}$，当
$$|t_n-t|⩽\delta$$则有$$\left|\dot{f}\left(t_n\right)-\dot{f}(t)\right|\le \frac{\epsilon }{2}$$

因此，对于所有 $t\in [t_n,t_n+\delta ]$，和所有 $n\in \mathbb{N}$，有 ∣ f ˙ ( t ) ∣ = ∣ f ˙ ( t n ) − ( f ˙ ( t n ) − f ˙ ( t ) ) ∣ ⩾ ∣ f ˙ ( t n ) ∣ − ∣ f ˙ ( t n ) − f ˙ ( t ) ∣ ⩾ ε − ε 2 = ε 2

∣f˙​(t)∣=∣∣∣​f˙​(tn​)−(f˙​(tn​)−f˙​(t))∣∣∣​⩾∣∣∣​f˙​(tn​)∣∣∣​−∣∣∣​f˙​(tn​)−f˙​(t)∣∣∣​⩾ε−2ε​=2ε​​因此，对于所有$n\in \mathbb{N}$，有$$\left|{\int }_0^{t_n+\delta }\dot{f}(t)dt-{\int }_0^{t_n}\dot{f}(t)dt\right|=\left|{\int }_{t_n}^{t_n+\delta }\dot{f}(t)dt\right|={\int }_{t_n}^{t_n+\delta }|\dot{f}(t)|dt\ge \frac{\epsilon \delta }{2}>0$$

根据假设可知，${\int }_0^{\infty }\dot{f}(t)dt<\beta$ 存在，因此，当$n\to \infty$，$$\left|{\int }_0^{t_n+\delta }\dot{f}(t)dt-{\int }_0^{t_n}\dot{f}(t)dt\right|\to 0$$，和上式产生矛盾，因此反证法可证，当 $t\to \infty$ 时, $\dot{f}(t)\to 0$。