引言

求解AOE网关键路径时，书上的方法为先从源点到汇点求解事件最早发生时间ve，再从汇点到源点求解事件最迟发生时间vl，再利用ve和vl求解每个活动的最早开始时间e(i)和最迟开始时间l(i)，e(i)和l(i)相等的活动则为关键活动，关键活动组成的从源点到汇点的路径即为关键路径。

王道书关于求解快速路径只是简单提了一嘴 如果这是一道选择题，根据上述求ve()的过程就已经能知道关键路径 ，并没有告诉你如何快速地求解关键路径，本文就此补充说明一下。

求法

这里直接举例给出求法

如下AOE图

我们从V1开始（按照拓扑序列）依次求解事件的最早发生时间ve，前三个顶点答案很显然，求得如下

在求解 $V4$ 的时候，需要对两条路径进行比较，即 V e ( 4 ) = m a x { V e ( 2 ) + a 3 , V e ( 3 ) + a 5 } = m a x { 5 , 6 } = 6 Ve(4)=max\{Ve(2)+a3,Ve(3)+a5\}=max\{5,6\}=6 Ve(4)=max{Ve(2)+a3,Ve(3)+a5}=max{5,6}=6显然选取的是 $a5$ 这条路径。

这意味着 $a3$ 这条路径对 $V4$ 来讲是 “冗余的” ，或者说因为 $a5$ 的存在，它有可以改变的空间。也就是 $a3$ 一定不是关键路径。我们可以叉掉它。

同样的 (不难看出Ve(5)=3+3=6)
V e ( 6 ) = m a x { V e ( 5 ) + a 8 , V e ( 4 ) + a 7 , V e ( 2 ) + a 6 } = m a x { 6 , 8 , 5 } = 8 Ve(6)=max\{Ve(5)+a8,Ve(4)+a7,Ve(2)+a6\}=max\{6,8,5\}=8 Ve(6)=max{Ve(5)+a8,Ve(4)+a7,Ve(2)+a6}=max{6,8,5}=8
叉掉不是关键路径的 $a8$ 和 $a6$。

按照以上思路，我们完成ve()的求解，并叉掉那些比较时被比下去的路径。
最后得到：

直观一点，我们把这些路径都去掉：

于是，我们得到关键路径
$$V1\Rightarrow V2\Rightarrow V4\Rightarrow V6$$
上图中，V1是源点，V6是汇点，完成工程意味着 V1到V6的一条路径，而去掉“不关键”的路径（活动边）后还可以走通的路径就是关键路径。
即上图中的(V1,V3,V4,V6)或者说(a2,a5,a7)
（注：a1和a4虽然保留在图中，但并不是关键活动，因为他们不在关键路径上）

总结

我们在求解Ve()的时候，遇到某个顶点有多个入度，需要用max比较获得最大的事件最早发生时间时，被比下去的路径可以被叉掉，选取数值最大的路径，并保留它，最终获得的就是关键路径。