高等数学（第七版）同济大学总习题一个人解答

高等数学（第七版）同济大学总习题一

函数作图软件：Mathematica

$1 . 在 “ 充分 ” “ 必要 ” 和 “ 充分必要 ” 三者中选择一个正确的填入下列空格内：$

$1) 数列{xn}有界是数列{xn}收敛的______条件，数列{xn}收敛是数列{xn}有界的______条件； (2) f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limx→x0f(x)存在的______条件，limx→x0f(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的______条件； (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limx→x0f(x)=∞的______条件，limx→x0f(x)=∞是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的______条件； (4) f(x)当x→x0时的右极限f(x+0)及左极限f(x−0)都存在且相等是limx→x0f(x)存在的______条件。$

​  (1)  数列{xn​}有界是数列{xn​}收敛的______条件，数列{xn​}收敛是数列{xn​}有界的______条件；  (2)  f(x)在x0​的某一去心邻域内有界是x→x0​lim​f(x)存在的______条件，x→x0​lim​f(x)存在是f(x)在x0​的某一去心邻域内         有界的______条件；  (3)  f(x)在x0​的某一去心邻域内无界是x→x0​lim​f(x)=∞的______条件，x→x0​lim​f(x)=∞是f(x)在x0​的某一去心邻域内         无界的______条件；  (4)  f(x)当x→x0​时的右极限f(x0+​)及左极限f(x0−​)都存在且相等是x→x0​lim​f(x)存在的______条件。​​

解：

$1) 数列{xn}有界是数列{xn}收敛的必要_条件，数列{xn}收敛是数列{xn}有界的充分_条件； (2) f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limx→x0f(x)存在的必要_条件，limx→x0f(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的充分_条件； (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limx→x0f(x)=∞的必要_条件，limx→x0f(x)=∞是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的充分_条件； (4) f(x)当x→x0时的右极限f(x+0)及左极限f(x−0)都存在且相等是limx→x0f(x)存在的充分必要_条件。$

(1) 数 列 {x_{n}} 有 界 是 数 列 {x_{n}} 收 敛 的 \underline{必 要} 条 件 ， 数 列 {x_{n}} 收 敛 是 数 列 {x_{n}} 有 界 的 \underline{充 分} 条 件 ； (2) f (x) 在 x_{0} 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 界 是 x \to x_{0} lim f (x) 存 在 的 \underline{必 要} 条 件 ， x \to x_{0} lim f (x) 存 在 是 f (x) 在 x_{0} 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 界 的 \underline{充 分} 条 件 ； (3) f (x) 在 x_{0} 的 某 一 去 心 邻 域 内 无 界 是 x \to x_{0} lim f (x) = \infty 的 \underline{必 要} 条 件 ， x \to x_{0} lim f (x) = \infty 是 f (x) 在 x_{0} 的 某 一 去 心 邻 域 内 无 界 的 \underline{充 分} 条 件 ； (4) f (x) 当 x \to x_{0} 时 的 右 极 限 f (x_{0}^{+}) 及 左 极 限 f (x_{0}^{-}) 都 存 在 且 相 等 是 x \to x_{0} lim f (x) 存 在 的 \underline{充 分 必 要} 条 件 。

$_ _ _ _ _ _ . 2. 已知函数f(x)={(cos x)−x2，0<|x|<π2， a， x=0在x=0连续，则a=______.$

解：

a = x \to 0 lim f (x) = x \to 0 lim (c o s x)^{- x^{2}} = 1

$3 . 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：$

(1) 设 f (x) = 2^{x} + 3^{x} - 2 ， 则 当 x \to 0 时 ， 有 () . (A) f (x) 与 x 是 等 价 无 穷 小 (B) f (x) 与 x 同 阶 但 非 等 价 无 穷 小 (C) f (x) 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小 (D) f (x) 是 比 x 低 阶 的 无 穷 小 (2) 设 f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x}} - 1}{e ^{\frac{1}{x}} + 1} ， 则 x = 0 是 f (x) 的 () . (A) 可 去 间 断 点 (B) 跳 跃 间 断 点 (C) 第 二 类 间 断 点 (D) 连 续 点

解：

(1) x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{2 ^{x} + 3 ^{x} - 2}{x} = x \to 0 lim \frac{2 ^{x} - 1}{x} + x \to 0 lim \frac{3 ^{x} - 1}{x} = l n 2 + l n 3 = l n 6 \neq = 1 ， 当 x \to 0 时 ， f (x) 与 x 同 阶 但 非 等 价 无 穷 小 ， 选 B . (2) x \to 0^{-} lim f (x) = - 1 ， x \to 0^{+} lim f (x) = 1 ， f (0) 的 左 右 极 限 存 在 且 不 相 等 ， 所 以 x = 0 是 f (x) 的 跳 跃 间 断 点 ， 选 B .

$4 . 设 f (x) 的定义域是 [0, 1] ，求下列函数的定义域：$

(1) f (e^{x}) ； (2) f (l n x) ； (3) f (a r c t a n x) ； (4) f (c o s x)

解：

(1) 0 \leq e^{x} \leq 1 ， 所 以 x \leq 0 ， f (e^{x}) 的 定 义 域 为 (- \infty, 0] (2) 0 \leq l n x \leq 1 ， 所 以 1 \leq x \leq e ， f (l n x) 的 定 义 域 为 [1, e] (3) 0 \leq a r c t a n x \leq 1 ， 所 以 0 \leq x \leq t a n 1 ， f (a r c t a n x) 的 定 义 域 为 [0, t a n 1] (4) 0 \leq c o s x \leq 1 ， 所 以 2 k π - \frac{π}{2} \leq x \leq 2 k π + \frac{π}{2} ， k \in Z ， f (c o s x) 的 定 义 域 为 [2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{π}{2}] ， k \in Z

$5. 设f(x)={0，x≤0，x，x>0，g(x)={ 0， x≤0，−x2，x>0，求f[f(x)]，g[g(x)]，f[g(x)]，g[f(x)].$

解：

$f[f(x)]={ 0， f(x)≤0，f(x)，f(x)>0，而f(x)≥0，x∈R，所以f[f(x)]=f(x)，x∈R g[g(x)]={ 0， g(x)≤0，−g2(x)，g(x)>0，而g(x)≤0，x∈R，所以g[g(x)]=0，x∈R f[g(x)]={ 0， g(x)≤0，g(x)，g(x)>0，而g(x)≤0，x∈R，所以f[g(x)]=0，x∈R g[f(x)]={ 0， f(x)≤0，−f2(x)，f(x)>0，而f(x)≥0，x∈R，所以g[f(x)]=g(x)，x∈R$

f [f (x)] = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 ， f (x) \leq 0 ， f (x) ， f (x) > 0 ， 而 f (x) \geq 0 ， x \in R ， 所 以 f [f (x)] = f (x) ， x \in R g [g (x)] = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 ， g (x) \leq 0 ， - g^{2} (x) ， g (x) > 0 ， 而 g (x) \leq 0 ， x \in R ， 所 以 g [g (x)] = 0 ， x \in R f [g (x)] = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 ， g (x) \leq 0 ， g (x) ， g (x) > 0 ， 而 g (x) \leq 0 ， x \in R ， 所 以 f [g (x)] = 0 ， x \in R g [f (x)] = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 ， f (x) \leq 0 ， - f^{2} (x) ， f (x) > 0 ， 而 f (x) \geq 0 ， x \in R ， 所 以 g [f (x)] = g (x) ， x \in R

$6 . 利用 y = s i n x 的图形作出下列函数的图形：$

(1) y = ∣ s i n x ∣ ； (2) y = s i n ∣ x ∣ ； (3) y = 2 s i n \frac{x}{2} .

解：

(1)

(2)

(3)

$7 . 把半径为 R 的一圆形铁皮，自圆心处剪去圆心角为 α 的一扇形后围成一无底圆锥。试建立这圆锥的体积 V 与角 α 间的函数关系。$

解：

设 圆 锥 底 半 径 为 r ， 高 为 h ， 则 (2 π - α) R = 2 π r ， h = R^{2} - r^{2} ， r = \frac{( 2 π - α ) R}{2 π} ， h = R^{2} - \frac{( 2 π - α ) ^{2}}{4 π ^{2}} R^{2} = \frac{4 π α - α ^{2}}{2 π} R ， 所 以 圆 锥 体 积 V = \frac{1}{3} π \cdot \frac{( 2 π - α ) ^{2}}{4 π ^{2}} R^{2} \cdot \frac{4 π α - α ^{2}}{2 π} R = \frac{R ^{3}}{2 4 π ^{2}} (2 π - α)^{2} 4 π α - α^{2} (0 < α < 2 π)

$8 . 根据函数极限的定义证明 x \to 3 lim \frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 5 .$

解：

∣ ∣ ∣ ∣ \frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} - 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{x - 3} - 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ x - 3 ∣ ， 要 使 ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} - 5 ∣ ∣ ∣ ∣ < ε ， 只 要 ∣ x - 3 ∣ < ε 。 所 以 \forall ε > 0 ， 取 δ = ε ， 则 当 0 < ∣ x - 3 ∣ < δ 时 ， 就 有 ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} - 5 ∣ ∣ ∣ ∣ < ε ， 即 x \to 3 lim \frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 5

$9 . 求下列极限：$

(1) x \to 1 lim \frac{x ^{2} - x + 1}{( x - 1 ) ^{2}} ； (2) x \to + \infty lim x (x^{2} + 1 - x) ； (3) x \to \infty lim (\frac{2 x + 3}{2 x + 1})^{x + 1} ； (4) x \to 0 lim \frac{t a n x - s i n x}{x ^{3}} ； (5) x \to 0 lim (\frac{a ^{x} + b ^{x} + c ^{x}}{3})^{\frac{1}{x}} (a > 0 ， b > 0 ， c > 0) ； (6) x \to \frac{π}{2} lim (s i n x)^{t a n x} (7) x \to a lim \frac{l n x - l n a}{x - a} (a > 0) ； (8) x \to 0 lim \frac{x t a n x}{1 - x ^{2} - 1}

解：

$10. 设f(x)={xsin 1x，x>0，a+x2， x≤0，要使f(x)在(−∞, +∞)内连续，应当怎样选择数a?$

解：

f (x) 在 (- \infty, 0) 及 (0, + \infty) 内 均 连 续 ， 要 使 f (x) 在 (- \infty, + \infty) 内 连 续 ， 只 要 使 f (x) 在 x = 0 处 连 续 即 可 ， x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim x s i n \frac{1}{x} = 0 ， x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{-} lim (a + x^{2}) = a ， 因 f (0) = a ， 所 以 当 a = 0 时 ， f (x) 在 x = 0 处 连 续 ， 使 得 f (x) 在 (- \infty, + \infty) 内 连 续 。

$11 . 设 f (x) = x \to \infty lim \frac{1 + x}{1 + x ^{2 n}} ，求 f (x) 的间断点，并说明间断点所属类型。$

解：

$f(x)=limn→∞1+x1+x2n={1+x，当|x|<1时，0，当|x|>1或x=−1时，1，当x=1时x=±1为分段函数的分段点。 x=−1处，因为f(−1−)=f(−1+)=f(−1)=0，所以x=−1为连续点。 x=1处，因为f(1−)=2，f(1+)=0，f(1−)≠f(1+)，所以x=1为f(x)的间断点，是跳跃间断点。$

f (x) = n \to \infty lim \frac{1 + x}{1 + x ^{2 n}} = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 1 + x ， 当 ∣ x ∣ < 1 时 ， 0 ， 当 ∣ x ∣ > 1 或 x = - 1 时 ， 1 ， 当 x = 1 时 x = \pm 1 为 分 段 函 数 的 分 段 点 。 x = - 1 处 ， 因 为 f (- 1^{-}) = f (- 1^{+}) = f (- 1) = 0 ， 所 以 x = - 1 为 连 续 点 。 x = 1 处 ， 因 为 f (1^{-}) = 2 ， f (1^{+}) = 0 ， f (1^{-}) \neq = f (1^{+}) ， 所 以 x = 1 为 f (x) 的 间 断 点 ， 是 跳 跃 间 断 点 。

$12 . 证明 n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n ^{2} + n}) = 1$

解：

因 \frac{n}{n ^{2} + n} < \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n ^{2} + n} < 1 ， 而 n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + n} = n \to \infty lim \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1 ， n \to \infty lim 1 = 1 ， 根 据 夹 逼 准 则 ， 得 出 n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n ^{2} + n}) = 1

$13 . 证明方程 s i n x + x + 1 = 0 在开区间 (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) 内至少有一个根。$

解：

设 f (x) = s i n x + x + 1 ， 则 f (x) 在 [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] 上 连 续 ， 因 为 f (- \frac{π}{2}) = s i n (- \frac{π}{2}) - \frac{π}{2} + 1 = - \frac{π}{2} < 0 ， f (\frac{π}{2}) = s i n \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 1 = \frac{π}{2} + 2 > 0 ， 由 介 值 定 理 得 知 ， 至 少 存 在 一 点 ξ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) ， 使 f (ξ) = 0 ， 即 s i n ξ + ξ + 1 = 0 ， 所 以 方 程 s i n x + x + 1 = 0 在 开 区 间 (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) 内 至 少 有 一 个 根 。

$14 . 如果存在直线 L : y = k x + b ，使得当 x \to \infty (或 x \to + \infty, x \to - \infty) 时，曲线 y = f (x) 上的动点 M (x, y) 到直线 L 的距离 d (M, L) \to 0 ，那么称 L 为曲线 y = f (x) 的渐近线。当直线 L 的斜率 k \neq = 0 时，称 L 为斜渐近线 .$

(1) 证 明 ： 直 线 L : y = k x + b 为 曲 线 y = f (x) 的 渐 近 线 的 充 分 必 要 条 件 是 k = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} ， b = x \to \infty lim [f (x) - k x] ； (2) 求 曲 线 y = (2 x - 1) e^{\frac{1}{x}} 的 斜 渐 近 线 。

解：

(1) 设 L : y = k x + b 为 曲 线 y = f (x) 的 渐 近 线 。 1 . 如 果 k \neq = 0 ， k = t a n a (a 为 L 的 倾 角 ， a \neq = \frac{π}{2} ） ， 曲 线 y = f (x) 上 动 点 M (x, y) 到 直 线 L 的 距 离 为 ∣ M K ∣ ， 过 M 作 横 轴 的 垂 线 ， 交 直 线 L 于 K_{1} ， 得 ∣ M K_{1} ∣ = \frac{∣ M K ∣}{c o s a} ， 当 x \to + \infty 时 ， ∣ M K ∣ \to 0 ， ∣ M K_{1} ∣ = ∣ f (x) - (k x + b) ∣ ， 因 为 L : y = k x + b 是 曲 线 y = f (x) 的 渐 近 线 ， 所 以 ∣ M K ∣ \to 0 (x \to + \infty) \Rightarrow ∣ M K_{1} ∣ \to 0 (x \to + \infty) ， 即 x \to + \infty lim [f (x) - (k x + b)] = 0 ， (1) 得 x \to + \infty lim [f (x) - k x] = x \to + \infty lim [f (x) - (k x + b)] + b = 0 + b = b ， (2) x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim \frac{1}{x} [f (x) - k x] + k = 0 + k = k 。 (3) 。 反 之 ， 如 果 (2) (3) 成 立 ， 则 (1) 成 立 ， 所 以 L : y = k x + b 是 曲 线 y = f (x) 的 渐 近 线 。 2 . 如 果 k = 0 ， 设 L : y = b 是 曲 线 y = f (x) 的 水 平 渐 近 线 。 按 定 义 有 ∣ M K ∣ \to 0 (x \to + \infty) ， 而 ∣ M K ∣ = ∣ f (x) - b ∣ ， 得 x \to + \infty lim f (x) = b ， (4) ， x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim \frac{1}{x} \cdot x \to + \infty lim f (x) = 0 。 (5) ， 反 之 ， 如 果 (4) (5) 成 立 ， 有 ∣ M K ∣ = ∣ f (x) - b ∣ \to 0 (x \to + \infty) ， 所 以 y = b 是 曲 线 y = f (x) 的 水 平 渐 近 线 。 (2) 因 为 k = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to \infty lim \frac{( 2 x - 1 )}{x} e^{\frac{1}{x}} = 2 ， b = x \to \infty lim [f (x) - 2 x] = x \to \infty lim [(2 x - 1) e^{\frac{1}{x}} - 2 x] = x \to \infty lim 2 x (e^{\frac{1}{x}} - 1) - x \to \infty lim e^{\frac{1}{x}} = 2 x \to \infty lim \frac{e ^{\frac{1}{x}} - 1}{\frac{1}{x}} - 1 = 2 x \to 0 lim \frac{e ^{u} - 1}{u} - 1 = 2 l n e - 1 = 1 ， 所 以 曲 线 的 斜 渐 近 线 为 y = 2 x + 1 .

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原文地址：https://blog.csdn.net/navicheung/article/details/125477310

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