MCS：离散随机变量——Binomial分布

Binomial

当变量$x$为某个事件独立重复$n$次，其中成功的次数时，变量$x$为二项式分布。每次成功的概率为$p$,变量$x$的取值范围为[$0\sim n$]:

$$P(x)=\frac{n!}{[x!(n-x)!]p^x(1-p{)}^{n-x}}，x=0,...,n$$

期望和方差：

$$E(x)=np$$
$$V(x)=np(1-p)$$

累积分布函数：

$$F(x_o)=P(x<=x_o)$$

生成随机二项式变量的三种方式

1. $n$ 较小时
2. Normal 近似
3. Poisson 近似

$n$值足够小:

1. 令$x=0$
2. For $i=1\to n$:
   • 生成随机连续均匀变量:$u\sim U(0,1)$
   • if $u<p,x=x+1$
3. Return $x$

例：设$x$为二项式分布，且$n=5$,$p=0.375$,生成一个随机二项式变量：

1. 生成5个随机的均匀变量：0.28，0.94，0.71，0.63，0.32
2. 只有两个小于$p=0.375$
3. $x=2$

正态近似：

• 当$n$值足够大，且$p<=0.5,np>5$,或者$p>0.5,n(1-p)>5$
• $x\sim N[np,np(1-p)]$

1. 生成随机的标准正态分布变量$z\sim N(0,1)$
2. 通过标准正态分布生成任意正态分布：$x=integer[np+z\sqrt{np(1-p)}+0.5]$

例：假设二项式分布的$n=100$,$p=0.4$,生成随机的二项式变量$x$:

• $n = 100, p = 0.4, np = 40 > 5, 选择正态近似法
• $x\sim N(np,np(1-p))$
• $x\sim N(40,4.9)$

1. 生成随机标准正态分布变量:$z=0.8$
2. $x=int[np+0.8\times 4.9+0.5]=44$

泊松近似

• 当$n$很大，$p$很小

1. 泊松变量的期望记为$\theta$,$E(x)=\theta =np$
2. 生成期望为$\theta$的泊松变量$x$

例：设随机二项式变量$x$，来自于独立重复次数为$n=1000$的实验，$p=0.001$,生成该分布随机变量：

• $np=1<5,p<0.5$,只能通过泊松分布来近似
• $\theta =np=1$

模拟生成二项式变量

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
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def generate_Binomial_var(n=1, p=0.5):
    if n <= 100:
        u = np.random.uniform(0, 1, (n,))
        x = np.sum(u < p)
    if (p >= 0.1):
        z = np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0)
        x = int(n*p + z*np.sqrt(n*p*(1 - p)) + 0.5)
    else:
        x = np.random.poisson(lam=n*p)
    return x
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