史蒂夫·斯托加茨

小结

本书以微积分作为视角，介绍了微积分出现之前及之后，人类是如何认识、研究、发现、论证自然的种种规律，如何研究圆的面积、曲线的面积、运动的变化、以及变化的本身。

微积分本身从微分到积分，借助无穷小的原则，一步一步推动人们认识数学、认识自然、认识宇宙的种种奥秘，并由此发现了很多理论：夹逼法、圆周率、最短时间理论、导数、开普勒定律等。正如所说的那样，我们只是在在发现数学发现科学，因为结果就在那里等着我们，它们自始至终都是，而非我们的发明创造。

————书籍摘要————

概述

◆ 微积分不只是一种语言

• 麦克斯韦的故事展现了一个我们将会反复看到的主题。人们常说数学是科学的语言，这是非常有道理的。在电磁波的例子中，对麦克斯韦而言，将他在实验中发现的定律转化为用微积分语言表述的方程，这是至关重要的第一步。
  但是，用语言来类比微积分的做法并不全面。微积分和其他数学形式一样，不仅是一种语言，还是一个非常强大的推理系统。依据某些规则进行各种符号运算，微积分可以帮助我们实现方程之间的转换。这些规则有扎实的逻辑根基，尽管看上去我们只是在随机变换符号的位置，但实际上我们是在构建逻辑推理的长链。随机变换符号的位置是有效的简化手段，也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的简便方式。

◆ 科学极简主义的艺术

• 这正是问题的关键所在。在科学中，毫发之差是可以接受的，但像船舶缆绳那样显眼的误差就不行了。
  伽利略继续研究抛体运动，比如火枪子弹或炮弹的飞行过程。它们会遵循哪类弧呢？伽利略的想法是，抛体运动由两种不同的运动构成，可以分别处理。一种是平行于地面的水平运动，引力在其中不起任何作用；另一种是向上或向下的垂直运动，引力在其中发挥作用，并且可以利用他的落体定律。伽利略把这两种运动结合起来，发现抛体会沿抛物线路径运动。每当你玩接球游戏或者从饮水喷头喝水时，就会看到这样的抛物线路径。
  这是大自然与数学之间的另一个惊人联系，进一步表明自然之书是用数学语言写成的。

一些理论

◆ 无穷原则

• 微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学

• 重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。

• 无穷原则；为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象（不管它看起来有多么狂野和复杂），把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物，分析这些部分，然后把结果加在一起，就能理解最初的那个整体

• 无穷原则围绕着方法论主题构建了微积分的故事。但微积分既与方法论有关，也与谜题有关。最重要的是，有三个谜题促进了微积分的发展，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。

◆ 无穷多边形的故事

• 它把我们从直线的世界带到了圆的世界，将棱角分明的多边形变成了如丝般光滑的圆形。而在比萨证明中，无穷则把我们从圆的世界带到了直线的世界，因为它把圆变成了矩形。

• 任何连续的事物都可以被精确地（而不只是近似地）切分成无穷多个无穷小的部分，这就是无穷原则。在极限和无穷的帮助下，离散和连续融为了一体。

• 极限尺度是由自然界的三大基本常量决定的，我们无法左右。第一个是引力常量G，它衡量的是宇宙中的引力强度。它最早出现在牛顿的引力理论中，之后又出现在爱因斯坦的广义相对论中，未来也必定会出现在取代这两者的任何理论中。

• 第二个常量ħ反映了量子效应的强度，它出现在海森伯的不确定性原理和薛定谔的量子力学波动方程中。

• 第三个常量是光速c，它是宇宙的极限速度，任何一种信号的传播速度都无法超过c。

◆ 夹逼法与圆周率

• 我想说的是，无论是在逻辑上还是在算术上，阿基米德计算π值的行为都堪称壮举。借助圆内接96边形和圆外接96边形，他最终证明π大于3+10/71而小于3+10/70。

◆ 开普勒定律

• 第一定律 椭圆轨道：开普勒还发现，对每颗行星来说，太阳都位于其椭圆轨道的一个焦点上。
• 第二定律：相等的时间，相等的面积。说的是当行星沿轨道运行时，从这颗行星到太阳的假想连线在相等的时间内扫过的面积相等。 简言之，第二定律说明，行星并不以恒定的速度运行。相反，离太阳越近，它们的运行速度就越快。“在相等的时间内矢径扫过的面积相等”的陈述，可以使这个结论更加精确。
• 第三定律：行星的公转周期。一颗行星距离太阳越远，它的运行速度就越慢，公转一周所需的时间也越长。

◆ 最短时间原理

• 当光线从光疏介质（比如空气）进入光密介质（比如水或者玻璃）时，它会朝着两种介质界面的垂线弯曲；当光线从光密介质进入光疏介质时，它会朝着远离垂线的方向弯曲。
• 人们发现，这种最优性原理（从某种精确的意义上说，指大自然会以最经济的方式运行）能准确地预测出力学定律

◆ 导数

• 微积分常被视为关于变化的数学，它运用了两大概念来量化变化：导数和积分。

• 导数可以回答“多快？”“多陡？”“多敏感？”之类的问题，这些都是关于某种形式的变化率问题。变化率等于因变量的变化量除以自变量的变化量，通常用符号Δy/Δx表示，意指y的变化量除以x的变化量。

• 在微积分中，导数的符号是dy/dx。它应该会让你想起普通的变化率Δy/Δx，只不过我们现在要假设dy和dx这两个变化量无穷小

◆ 微积分的三大核心问题

• 微积分有三大核心问题：
  1.正向问题：已知一条曲线，求它各处的斜率。
  2.反向问题：已知一条曲线各处的斜率，求这条曲线。
  3.面积问题：已知一条曲线，求曲线下方的面积。

• 斜率衡量的是变化率，而面积衡量的是变化的累积量。

◆ 常微分方程与偏微分方程

• 当艾萨克·牛顿解释行星的椭圆轨道时，当凯瑟琳·约翰逊计算约翰·格伦的太空舱轨道时，他们求解的都是常微分方程[插图]，这类微分方程只取决于一个自变量。

• 常微分方程描述的是，某个因素的无穷小的变化（比如无穷小的时间增量）如何引起其他因素（比如行星的位置和病毒颗粒的浓度）的无穷小的变化。这样的方程之所以被称为“常”微分方程，是因为它们只有一个自变量。

• 偏微分方程比常微分方程丰富得多，它们描述了连续系统的运动同时随空间和时间发生的变化，或者连续系统在两个或更多维度的空间中运动的变化情况。

◆ 自然对数及其指数函数

• ex的增长率就是ex本身。当n趋于无穷时，你的存款金额将趋于100与(1+1/n)n的乘积的极限，这个极限被定义为数字e。尽管我们并不清楚该极限值是多少，但事实证明它大约为2.718 28…。

◆ 指数增长与指数式衰减的机制

• 核链式反应也受到指数增长的支配。当一个铀原子分裂时，它会释放出中子，这些中子可能会撞击其他原子并导致它们分裂，从而释放出更多中子，以此类推。如果不加以控制，中子数量的指数增长就会引发核爆炸。

◆ 通过微分推导出基本定理

• 基本定理认为，当我们向右滑动x时，曲线下方的面积会以f(x)的速率增大。因此，f(x)是A(x)的导数（图8–2）。
• dA=ydx=f(x)dx。嘭！这就是微积分基本定理。

人物事项

◆ 伽利略出场

• 尽管望远镜并不是伽利略发明的，但他对望远镜做出了改进，并且是第一个利用它取得重大科学发现的人。1610-1611年，他观测到月球上有山，太阳上有斑点，以及木星有4颗卫星（从那时起，人们又陆续发现了其他卫星）。

◆ 从摆动的吊灯到GPS

• 传说在伽利略还是一个十几岁的医科学生时，他就取得了第一个科学发现。一天在比萨大教堂参加弥撒仪式时，他注意到头顶上方的一盏吊灯在来回摆动，[插图]就像钟摆一样。伽利略通过观察发现，在气流的不断推挤下，无论吊灯的摆动幅度是大还是小，它每完成一次摆动的用时都相同。这让他吃惊不已，完成一次大幅度摆动的用时和完成一次小幅度摆动的用时怎么会相同呢？但他越思考，就越觉得有道理。当吊灯的摆动幅度大时，尽管它经过的距离更远，但运动速度也更快。也许，这两种效应相互抵消了。为了验证这个想法，伽利略用他的脉搏测量了吊灯摆动的时间。果不其然，每次摆动的用时（心跳数）都是相同的。

• 他为此努力多年，但始终没有解决这个问题。现在回头想想，我们会发现他不可能成功，因为解释这个规律需要用到一种超出他和他同时代人的知识范畴的新数学工具。直到艾萨克·牛顿发现上帝的语言——微分方程，这个规律的数学推导才得以完成。

◆ 开普勒与行星运动之谜

• 伽利略研究的是地球上物体的运动，而约翰尼斯·开普勒研究的是天空中行星的运动。

◆ 费马vs笛卡儿

• 笛卡儿致力于在理性、科学和怀疑主义的基础上重建人类知识。他最广为人知的哲学著作，因为他的名句“我思故我在”而名垂千古。换句话说，当一切都拿不准的时候，至少有一件事是确定的，那就是怀疑精神的存在。

◆ 寻找失传已久的发现方法——分析

• 笛卡儿和费马之间的竞争发生在17世纪初，那时的数学家都梦想着找到一种几何学的分析方法[插图]。这里所说的分析，指的是发现结果而不是证明结果的方法。当时人们普遍怀疑古人已经拥有了这样的发现方法，但却故意将它藏匿起来。比如，笛卡儿就曾断言古希腊人“掌握了一种数学知识，它与我们这个时代通用的数学知识截然不同……但我的看法是，那时的卑鄙和令人愤慨[插图]的作者隐瞒了这种知识”。
  符号代数似乎就是这种失传已久的发现方法。但在较为守旧的地方，代数遭到了保守派的怀疑。当艾萨克·牛顿说“代数是数学笨蛋的分析方法”[插图]时，他其实是在不加掩饰地侮辱笛卡儿，因为笛卡儿是一个典型的依赖代数并通过逆向推理来解决问题的“笨蛋”。

• 在发动对代数的攻击时，牛顿坚持主张分析法与综合法之间的传统区别。在分析法中，人们从结尾入手解决问题，就好像已经得到了答案一样，然后满怀期望地朝着开头倒推，希望找到一条通往给定假设的路径。这就是学生们眼中的从答案开始倒推，然后搞清楚如何得出这个答案的方法。

• 而综合法的方向正相反，即从给定的条件着手，然后通过在黑暗中摸索和尝试，按部就班地找到解决方案，最终得出期望的结果。综合法往往比分析法难得多，因为在你找到解决方案之前，你根本不知道该怎么做。

• 微积分故事中的关键时刻出现在17世纪中叶，曲线之谜、运动之谜和变化之谜在二维网格——费马和笛卡儿的xy平面——上发生了碰撞。

• 牛顿在费马、笛卡儿、伽利略和开普勒的研究成果的基础之上，将几何学与物理学结合起来，构建了一个伟大的综合体。牛顿的思想火花点燃了启蒙运动之火，引发了西方的科学和数学革命。

• 17世纪下半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼茨彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起，创立了微积分。

◆ 局部vs整体

• 积分之所以比微分难得多，原因在于局部和整体之间的区别。局部问题很容易，而整体问题则很难。

• 微分是一种局部操作。正如前文所说，我们在计算导数的时候，就像在显微镜下观察事物一样。随着我们反复放大视野中的曲线，曲线的弯曲度看上去越来越小。我们看到了曲线的放大版，它是一段微小的斜坡，几乎完全笔直，垂直高度是Δy，水平距离是Δx。在放大倍数为无穷的极限情况下，它趋近某条直线，即显微镜中心点的切线，这条极限线的斜率就是该点的导数

• 而积分是一种整体操作。我们现在用的不是显微镜，而是望远镜。我们试图眺望远方或者预测未来（尽管在这种情况下我们需要一个占卜用的水晶球），这自然要难得多。所有干预事件都很重要，而且不能被舍弃，或者至少看起来如此。

• 但我还要说，如果不是站在巨人的肩膀上，牛顿就不可能做到这一切。他统一、综合和归纳了伟大前辈的思想：他继承了阿基米德的无穷原则，他的切线知识来自费马，他使用的小数和变量分别来自印度数学和阿拉伯代数，他用方程表示xy平面上曲线的做法来自笛卡儿的著作，他对无穷的随心所欲的玩法、他的实验精神及他对猜想和归纳的开放性态度都来自沃利斯。他把所有这一切混搭在一起，创造出一种新事物——通用的幂级数法，直到今天我们在解决微积分问题时仍会用到它。

◆ 波、微波炉和脑成像

• 为什么正弦波非常适合做波动方程、热传导方程和其他偏微分方程的解呢？因为正弦波的优点在于，它们可以与导数“相处得十分融洽”。具体来说，一个正弦波的导数是另一个正弦波，两者之间存在1/4个周期的位移。这是一个了不起的特性，而其他类型的波并不具备。

◆ CT与脑成像

• CT的目标就是绘制出整个切片的吸收图样，并在其中显示出肿瘤或血块的可能位置。CT不能直接看见大脑，它看见的只是大脑中的X射线吸收图样。

• 立即就会知道该如何解决它。我们需要沿许多个不同的方向发射X射线，这是CT扫描技术的核心。从多个方向发射X射线，让它们经同一个点穿入组织，并在很多个不同的点上重复这个测量过程，通过这种方法，我们原则上可以绘制出大脑各处的衰减因子的图像。

◆ 微积分与计算机联盟

• 在数学模拟中，计算机利用恰当的微分方程和一个个小增量来更新炮弹的位置和速度，然后通过海量的加法运算（蛮力算法）得出答案，从而使一枚理想的炮弹沿它的飞行轨迹小步前进。只有机器才能不停歇地运转，并且快速、准确和不知疲倦地执行所有必要的加法和乘法运算。

◆ 复杂系统与高维诅咒

• 在爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论中，空间和时间被融合成单一的实体——时空，并被表示成一个四维的数学领域。

• 对我来说，最大的谜题是：为什么宇宙是可理解的，以及为什么微积分会与其步调一致？