动态规划解决股票问题（上）

1. 买卖股票的最佳时机

题目描述

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
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示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
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力扣链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock

题解

思路：总目标是找出两个数，使得其差值最大，并且小的在左边

1. 我们可以建立一个 bp 数组，面里存放着每一次卖出的利润，记为 profit = 后面的数 - 前面的数最后比较所有的利润的最大值
2. 在每次求利润时，我们首先找出最小的数，记为 start 然后再向后遍历，求后面的数与这个数的差值，即profit每求一次profit，比较与上一次的profit谁大，取最大的那个值若是遇到一个更小的数，我们再将 start 更新

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
  const length = prices.length;
  let start = prices[0], profit = 0;
  for(let i = 0; i < length; i++) {
    start = Math.min(start, prices[i]);
    profit = Math.max(profit, prices[i] - start);
  }
  return profit;
};
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2. 买卖股票的最佳时机 II

题目描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
     总利润为 4 + 3 = 7 。
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示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     总利润为 4 。
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示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。
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力扣链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/

题解

定义状态 dp[i][0] 表示第 i 天交易完后手里持有股票的最大利润，dp[i][1] 表示第 i 天交易完后手里没有一支股票的最大利润（i 从 0 开始）。

考虑 dp[i][0] 的转移方程，可能的转移状态为前一天已经持有一支股票，即 dp[i−1][0]，或者前一天结束时还没有股票，即 dp[i−1][1]，这时候我们要将其买入，并减少 prices[i] 的收益。可以列出如下的转移方程：dp[i][0]=max{dp[i−1][0], dp[i−1][1]−prices[i]}

再来考虑 dp[i][1]，按照同样的方式考虑转移状态，如果这一天交易完后手里没有股票，那么可能的转移状态为前一天已经没有股票，即 dp[i−1][1]，或者前一天结束的时候手里持有一支股票，即 dp[i−1][0]，这时候我们要将其卖出，并获得 prices[i] 的收益。因此为了收益最大化，我们列出如下的转移方程：dp[i][0]=max{dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]}

对于初始状态，根据状态定义我们可以知道第 0 天交易结束的时候 dp[0][0]=−prices[0]，dp[0][1]=0。

因此，我们只要从前往后依次计算状态即可。由于全部交易结束后，持有股票的收益一定低于不持有股票的收益，因此这时候 dp[length−1][1] 的收益必然是大于dp[length−1][0] 的，最后的答案即为 dp[length−1][1]。

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
  const length = prices.length;
  const dp = Array(length).fill(0).map(() => Array(2).fill(0));
  dp[0][0] = - prices[0];
  
  for(let i = 1; i < length; i++) {
    dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
  }  

  return dp[length - 1][1];
};
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当然，可以通过设置 dp0 和 dp1 两个变量来代替 dp[i][0] 和 dp[i][1]，减小空间复杂度。

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
  const length = prices.length;
  let dp0 = -prices[0];
  let dp1 = 0;
  
  for(let i = 1; i < length; i++) {
    dp0 = Math.max(dp0, dp1 - prices[i]);
    dp1 = Math.max(dp1, dp0 + prices[i]);
  }  

  return dp1;
};
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3. 买卖股票的最佳时机含手续费

题目描述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
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示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6
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力扣链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee

题解

定义状态 dp[i][0] 表示第 i 天交易完后手里持有股票的最大利润，dp[i][1] 表示第 i 天交易完后手里没有股票的最大利润（i 从 0 开始）。

考虑 dp[i][0] 的转移方程，那么可能的转移状态为前一天已经持有一支股票，即 dp[i−1][0]，或者前一天结束时还没有股票，即 dp[i−1][0]，这时候我们要将其买入，并减少 prices[i] 的收益。可以列出如下的转移方程：dp[i][0]=max{dp[i−1][0], dp[i−1][1]−prices[i]}

再来按照同样的方式考虑 dp[i][1] 按状态转移，如果这一天交易完后手里没有股票，那么可能的转移状态为前一天已经没有股票，即 dp[i−1][1]，或者前一天结束的时候手里持有一支股票，即 dp[i−1][0]，这时候我们要将其卖出，并获得 prices[i] 的收益，但需要支付 fee 的手续费。因此为了收益最大化，我们列出如下的转移方程：dp[i][1]=max{dp[i−1][1],dp[i−1][0]+prices[i]−fee}

对于初始状态，根据状态定义我们可以知道第 0 天交易结束的时候有 dp[0][1]=0 以及 dp[0][0]=−prices[0]。

因此，我们只要从前往后依次计算状态即可。由于全部交易结束后，持有股票的收益一定低于不持有股票的收益，因此这时候 dp[length−1][1] 的收益必然是大于 dp[length−1][1] 的，最后的答案即为 dp[length−1][1]。

当然，可以通过设置 dp0 和 dp1 两个变量来代替 dp[i][0] 和 dp[i][1]，减小空间复杂度。

/**
 * @param {number[]} prices
 * @param {number} fee
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices, fee) {
    const length = prices.length;
    let [dp0, dp1] = [-prices[0], 0];
    
    for(let i = 0; i < length; i++) {
      dp0 = Math.max(dp0, dp1 - prices[i]);
      dp1 = Math.max(dp1, dp0 + prices[i] - fee);
    }

    return dp1;
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