• 【高等数学】从法向量到第二类曲面积分


    从法向量到第二类曲面积分

    一、引言

    我在看到第二类曲线积分的公式时候,对于其中的正负号很困惑,教材上给出了结论:法线和相对应的坐标轴的夹角为锐角时取“+”,否则取负号。然而,不知道其正负号的根源会让心不得安,因此我稍微探究了一下。

    分面投影法:

    ∬ S F ( x , y , z ) ⋅ d S = ∬ D y z ± P [ x ( y , z ) , y , z ] d y d z + ∬ D x z ± Q [ x , y ( x , z ) , z ] d x d z + ∬ D x y ± R [ x , y , z ( x , y ) ] d x d y

    SF(x,y,z)dS=Dyz±P[x(y,z),y,z]dydz+Dxz±Q[x,y(x,z),z]dxdz+Dxy±R[x,y,z(x,y)]dxdy
    SF(x,y,z)dS=Dyz±P[x(y,z),y,z]dydz+Dxz±Q[x,y(x,z),z]dxdz+Dxy±R[x,y,z(x,y)]dxdy

    合一投影法:

    ∬ S F ( x , y , z ) ⋅ d S = ∬ S F ( x , y , z ) ⋅ n 0 ( x , y , z ) d S = ± ∬ D x y F ( x , y , z ) ⋅ ( − ∂ z ∂ x , − ∂ z ∂ y , 1 ) d x d y

    SF(x,y,z)dS=SF(x,y,z)n0(x,y,z)dS=±DxyF(x,y,z)(zx,zy,1)dxdy
    SF(x,y,z)dS=SF(x,y,z)n0(x,y,z)dS=±DxyF(x,y,z)(xz,yz,1)dxdy

    二、法线和切平面

    1. 平面的表示

    首先,要知道,一个平面的显式表示和隐式表示:

    • 隐式: F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0

    • 显式: z = z ( x , y ) z = z(x,y) z=z(x,y)

    实际上,显式表示是一种几何学上的参数化,其逆过程是隐式化,可表示为: F ( x , y , z ) = z − z ( x , y ) = z ( x , y ) − z = 0 \color{fuchsia}{F(x,y,z) = z-z(x,y) = z(x,y)-z=0} F(x,y,z)=zz(x,y)=z(x,y)z=0

    2. 法向量

    现在在平面上任意找一个点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) M(x_0,y_0,z_0) M(x0,y0,z0)

    那么,这一点的法向量可以

    • 用梯度表示为: ∇ F ( x , y , z ) \nabla \mathbf F(x,y,z) F(x,y,z)

    • 或者用偏导数的外积表示为: ∂ X ∂ x × ∂ X ∂ y \frac{\partial \mathbf X}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf X}{\partial y} xX×yX或者 ∂ X ∂ y × ∂ X ∂ x \frac{\partial \mathbf X}{\partial y} \times \frac{\partial \mathbf X}{\partial x} yX×xX,这里的X是曲面坐标,比如三维空间里面,使用z(x,y)进行参数化,那么得到的曲面坐标为**(x,y,z(x,y))**。

    对于显示表示的平面的法向量,可表示为: n ( x , y ) = ( − ∂ z ∂ x , − ∂ z ∂ y , 1 ) \color{fuchsia}{\mathbf n(x,y) = (-\frac{\partial z}{\partial x} ,-\frac{\partial z}{\partial y} ,1) } n(x,y)=(xz,yz,1) 或者 n ( x , y ) = ( ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y , − 1 ) \color{fuchsia}{\mathbf n(x,y) = (\frac{\partial z}{\partial x} ,\frac{\partial z}{\partial y} ,-1) } n(x,y)=(xz,yz,1),此时法向量的值只和x、y有关

    我非常刻意地将法向量写成了两种表示形式,这是因为对于一个有向曲面而言有两侧。现在最关键的两句话是:
    1. 若采用z(x,y)进行参数化,其法向量 n ( x , y ) = ( − ∂ z ∂ x , − ∂ z ∂ y , 1 ) \mathbf n(x,y) = (-\frac{\partial z}{\partial x} ,-\frac{\partial z}{\partial y} ,1) n(x,y)=(xz,yz,1)一定是指向 n ( x , y ) = ( ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y , − 1 ) \mathbf n(x,y) = (\frac{\partial z}{\partial x} ,\frac{\partial z}{\partial y} ,-1) n(x,y)=(xz,yz,1)一定指向
    1. 若采用z(x,y)进行参数化,一定要保证函数 z = z ( x , y ) z = z(x,y) z=z(x,y)是单值函数。

    现在如果我们关注的一片曲面,是一个右半球,那么采用**y(x,z)**进行参数化,更加方便,此时曲面坐标只和x、z有关。那么其其法向量 n ( x , z ) = ( − ∂ y ∂ x , 1 , − ∂ y ∂ z ) \mathbf n(x,z) = (-\frac{\partial y}{\partial x},1,-\frac{\partial y}{\partial z}) n(x,z)=(xy,1,zy)一定是指向 n ( x , z ) = ( ∂ y ∂ x , − 1 , ∂ y ∂ z ) \mathbf n(x,z) = (\frac{\partial y}{\partial x},-1,\frac{\partial y}{\partial z}) n(x,z)=(xy,1,zy)一定指向西

    现在如果我们关注的一片曲面,是一个前半球,那么采用**x(y,z)**进行参数化,更加方便,此时曲面坐标只和y、z有关。那么其其法向量 n ( y , z ) = ( 1 , − ∂ x ∂ y , − ∂ x ∂ z ) \mathbf n(y,z) = (1,-\frac{\partial x}{\partial y},-\frac{\partial x}{\partial z}) n(y,z)=(1,yx,zx)一定是指向 n ( y , z ) = ( − 1 , ∂ x ∂ y , ∂ x ∂ z ) \mathbf n(y,z) = (-1,\frac{\partial x}{\partial y},\frac{\partial x}{\partial z}) n(y,z)=(1,yx,zx)一定指向

    三、第二类曲面积分

    ∬ S F ( x , y , z ) ⋅ d S = ∬ S F ( x , y , z ) ⋅ n 0 ( x , y , z ) d S = ∬ S { P ( x , y , z ) n 0 ( x , y , z ) ⋅ [ 1 , 0 , 0 ] + Q ( x , y , z ) n 0 ( x , y , z ) ⋅ [ 0 , 1 , 0 ] + R ( x , y , z ) n 0 ( x , y , z ) ⋅ [ 0 , 0 , 1 ] } d S = ∬ S [ P ( x , y , z ) cos ⁡ α + Q ( x , y , z ) cos ⁡ β + P ( x , y , z ) cos ⁡ γ ] d S

    SF(x,y,z)dS=SF(x,y,z)n0(x,y,z)dS=S{P(x,y,z)n0(x,y,z)[1,0,0]+Q(x,y,z)n0(x,y,z)[0,1,0]+R(x,y,z)n0(x,y,z)[0,0,1]}dS=S[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+P(x,y,z)cosγ]dS
    SF(x,y,z)dS=SF(x,y,z)n0(x,y,z)dS=S{P(x,y,z)n0(x,y,z)[1,0,0]+Q(x,y,z)n0(x,y,z)[0,1,0]+R(x,y,z)n0(x,y,z)[0,0,1]}dS=S[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+P(x,y,z)cosγ]dS

    有向曲面的面积微元是带有方向的,其方向由你选择的曲面的侧决定,比如选择了曲面的前侧那么其法向量一定是指向,此时的法向量将会是 n ( y , z ) = ( 1 , − ∂ x ∂ y , − ∂ x ∂ z ) \mathbf n(y,z) = (1,-\frac{\partial x}{\partial y},-\frac{\partial x}{\partial z}) n(y,z)=(1,yx,zx)

    顺便说一下合一投影法分面投影法

    1. 合一投影法:就是上式的第一步等式,结果是投影向某一个平面上的,比如选择**z=z(x,y)**的参数化方式,那么结果将投影到xOy平面上。
    2. 分面投影法:就是上式的第二步等式,三个法向量可以采用不同的参数化方式,比如对于x轴方向上的P(x,y,z),就用x=x(y,z),然后投影到yOz平面;对于z轴方向的R(x,y,z),就用z=z(x,y),然后投影到xOy平面上。

    这里,通过向量[1,0,0] 、[0,1,0]、 [0,0,1]其实就将法向量的偏导数部分归零了。我们发现,从这个角度去理解,合一投影法和分面投影法没有本质上的区别。

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