关于区间操作查找（前缀和与差分）+树状数组基础

今天学了前缀和和差分，为了避免我把它忘掉，我还是浅浅的记录一下吧

首先需要知道什么是前缀和与差分：

 

 前缀和就是数组中某元素之前（包括此元素）的所有元素的和

设b[]为前缀和数组，a[]是原数组。

 

对于一维数组而言，某个元素的前缀和就是从这个数组的第0个元素到这个元素的所有元素之和。

 

即：

那么就可以对区间求和产生更深刻的理解：

对于求出一个区间[l,r]的所有元素之和，我们就可以将首元素的前缀和与末元素的前缀合相减。

代码如下：

 

 

 而对于二维数组来说，每个元素的前缀和b[x][y]就是从a[0][0]到a[x][y]之间所有元素的和

比如b[3][1]，就可以如下图的方法表示：

 

而如果我想给一个区间求和，就直接表示为：

即：

 

那我要是想给一个区间求和，就可以表示为：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

代码如下：

 

 

 

关于差分，就是将当前元素与前一个元素相减。

比如给定一个数组a[n]={1,3,7,5,2}，他的差分数组就是d[n]={1,2,4,-2,-3}

他的应用有很多，比如：给定一个序列，m次访问，每次输入两个一维坐x1,x2，并输入一个数c,代表这个数列从第x1个数到第x2个数之间的元素都加c，最后输出最新的序列。

对于这种题，先求出这个序列的差分数组d，每次询问让[L,R]+V转化为d[L]+V,d[R+1]-V ，最后再将新数组求一次前缀和即可。

 

 对于二维差分

 现在我要在左上角是 (x1,y1)，右下角是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +p

 那如果开始位置+p，那根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分(所有的求和都增加了)，多影响了两个蓝色部分。所以在两个蓝色部分 -p 消除 +p 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 -p 的影响，所以绿色部分 +p 消除影响

 

 

 

 代码如下：

 

关于lowbit()函数

lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值

比如12的二进制可以表示为1100，所以他的lowbit就是1*8等于8

关于他的代码实现也很简单

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
    //实际上就是负数的补码运用 
}

如何用lowbit()来维护其区间

设结点的编号为x，那么这个结点维护的区间就是 (x-lowbit(x),x] (注意区间的开闭）

 

 

c₁维护区间(1-lowbit(1)，1]即(0,1]  也就是A₁本身

c₂维护区间(2-lowbit(2)，2]即(0,2]  A₁+A₂

c₃维护(2,3]  A₃

c₄维护(0,4]  A₁+A₂+A₃+A₄

c₅维护(4,5]  A₅

c₆维护(4,6]  A₅+A₆

c₇维护(6,7]  A₇

c₈维护(0,8] A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆+A₇+A₈

 不难发现，结点维护的叶结点（A单点区间）的个数就是其序号转换为二进制后lowbit的值

通过寻找规律，可以得到通式：

 

 

寻找树状数组的性质：

(性质1)每个内部结点C[x]保存以它为根的子树中所有叶结点的和。

(性质2)每个内部结点C[x]的子结点个数等于lowbit(x)的值。

(性质3)除树根以外，每个内部结点C[x]的父亲结点是C[x+lowbit(x)]

(性质4)树的深度为O(logN)

 

通过这些性质，我们可以进行一系列操作：

1、查询前缀和：

int lowbit(x)
{
    return x&(-x);
}

int sum(int x)//查询前缀和（c[x]的区间和） 
{
    int res=0;
    while(x>0)
    {
        res=res+c[x];
        x=x-lowbit(x);
    }
    return res;
}

2.单点修改：

int lowbit(int x) 
{
    return x&(-x);
}
void update(int x,int y)
//a[x]+y操作，并让他的长辈加y 
{
    while(x<=n)
    {
        c[x]+=y;
        x+=lowbit(x);
    }
}

3、区间和计算

int calculate(int x,int y)
{
    return sum(y)-sum(x-1);
}

经典题目：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int c[100001];
int n,m,k,a,b;
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void update(int x,int v)
//单点修改（在x的位置上加v） 
{
    while(x<=n)
    {
        c[x]+=v;
        x+=lowbit(x);
    }
}

int sum(int x)
{
    int res=0;
    while(x>0)
    {
        res+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}

int main()
{
    int v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&v);
        update(i,v);
    } 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);
        if(k==0) printf("%d\n",sum(b)-sum(a-1));
        else update(a,b);
    }
    return 0;
}

就先到这里吧，再见！