LeetCode 热题 HOT 100 第五十七天 221. 最大正方形 中等题 用python3求解

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在一个由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的二维矩阵内，找到只包含 ‘1’ 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：matrix = [[“1”,“0”,“1”,“0”,“0”],[“1”,“0”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“1”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“0”,“0”,“1”,“0”]]
输出：4

示例 2：

输入：matrix = [[“0”,“1”],[“1”,“0”]]
输出：1

示例 3：
输入：matrix = [[“0”]]
输出：0

提示：
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 300
matrix[i][j] 为 ‘0’ 或 ‘1’


解法：动态规划
dp(i,j)：表示以(i,j)为右下角，且只包含1的正方形的边长最大值。
如果我们能计算出所dp(i,j)的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含1的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算dp中的每个元素值呢？对于每个位置(i,j)，检查在矩阵中该位置的值：

• 如果该位置的值是0，则dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由1组成的正方形中；
• 如果该位置的值是1，则dp(i,j)的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的dp值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加1，状态转移方程如下：
  dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1

此外，还需要考虑边界条件。如果i和j中至少有一个为0，则以位置(i,j)为右下角的最大正方形的边长只能是1，因此dp(i,j)=1。

举例：
原始矩阵如下：
0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1

对应的dp值如下：
0 1 1 1 0
1 1 2 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 0 1 2 3

计算dp值的过程：

步骤：
1.特判，若matrix为空，返回0

2.初试化matrix的行rows，列columns，初始化dp=[[0,⋯,0],⋯,[0,⋯,0]]，维度为(rows+1)∗(columns+1)，这样便于处理。初始化最大边长maxSide=0。

3.遍历dp数组，遍历行rows，遍历区间[0,rows)：
遍历列j，遍历区间[0,columns)：
若matrix[i−1][j−1]==“1”，此时可能存在正方形：
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1
并更新最大边长maxSide=max(maxSide,dp[i][j])

4.返回面积maxSide∗maxSide

代码实现：

class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
        if len(matrix) == 0 or len(matrix[0]) == 0:
            return 0
        
        maxSide = 0
        rows, columns = len(matrix), len(matrix[0])
        dp = [[0] * columns for _ in range(rows)]
        for i in range(rows):
            for j in range(columns):
                if matrix[i][j] == '1':
                    if i == 0 or j == 0:
                        dp[i][j] = 1
                    else:
                        dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
                    maxSide = max(maxSide, dp[i][j])
        
        maxSquare = maxSide * maxSide
        return maxSquare

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