拓扑排序算法

拓扑排序算法

上图意思为在我想要完成C7这件事之前我必须先完成事件C1，在完成C5这件事之前我必须先完成事件C6和C3.由图可以提看出拓扑序列是不唯一的。

有向图拓扑排序算法基本步骤：

1.从图中选择一一个入入度为0的顶点, 输出该顶点;

2.从图中删除该顶点及其相关联的弧；

3.重复执行1、2，直到不存在入度为0的顶点为止：

4.若输出的顶点数小于有向图中的顶点数，则输出“有回路信息”，否则输出顶点序列就是一组拓扑序列。

可以证明，任何一个无环有向图(AOV网)，其全部顶点都可以排成一个拓扑序列。而且其拓扑序列不一定是唯一的。拓扑排序可以用来判断一个有向图是否有环。

算法实现

(a)数据结构，dui表示顶点i的入度，q为队列（如果要输出相同条件下结点编号小的在前（后）的序列，则需要使用优先队列)

(b)扫描有向图，将入度为0的点入队

©while(队非空)获取队首元素，假设为a，输出该元素，并出队；计数器cnt++;删除以a的出边，将出边对应的顶点的入度都减一;

(d)如果cnt==n，说明输出的序列为合法的拓扑序列，如果cnt!=n，说明该有向图存在环。

家谱树

原题目：有个人的家族很大，辈分关系很混乱，请你帮整理一下这种关系。给出每个人的孩子的信息。
输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。
【输入格式】
第1行一个整数N(1<=N<=100)，表示家族的人数
接下来N行，第i行描述第i个人的儿子。
每行最后是0表示描述完毕。
【输出格式】
输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。
如果有多解输出任意一解。
【输入样例】
5
0
4 5 1 0
1 0
5 3 0
3 0
【输出样例】
2 4 5 3 1

分析

题目的辈分关系图

我们很容易想到使用拓扑排序来求解

代码如下：

#include
using namespace std;

#define int long long  // 使用 long long 类型，定义别名 int 为 long long，便于处理大数
const int N = 1e6 + 10;  // 定义常量 N 表示最大节点数
const int M = 1e6 + 10;  // 定义常量 M 表示最大边数

// 定义结构体 E 表示边，存储目标节点和边的权重（w 没有使用）以及下一条边的下标
struct E {
    int to, w, next;
} e[M];

int tot, head[N];  // tot 表示边的计数器，head[] 数组表示每个节点的边链表头指针
int n;  // n 表示图中节点的个数
int du[N];  // du[] 存储每个节点的入度

// 初始化函数，初始化边和节点信息
void init() {
    tot = 0;  // 初始化边的计数器为0
    memset(head, -1, sizeof(head));  // 初始化 head 数组为 -1，表示当前没有边
}

// 添加边函数，将从节点 u 到节点 v 的边加入图中
void addEdge(int u, int v) {
    e[tot].to = v;  // 边的目标节点为 v
    e[tot].next = head[u];  // 当前 u 节点的头指针指向的边作为下一条边
    head[u] = tot;  // 更新 u 节点的头指针，指向最新加入的这条边
    tot++;  // 边的计数器加 1
}

// 输出图中所有边的函数，按节点顺序输出所有与之相连的边
void output() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 遍历每个节点
        for (int j = head[i]; j != -1; j = e[j].next) {  // 遍历每条边
            int v = e[j].to;  // 获取边的目标节点
            cout << i << " " << v << endl;  // 输出该边的信息
        }
    }
}
// 主函数
signed main() {
    cin >> n;  // 读入节点数
    init();  // 初始化图
    queue<int> q;  // 定义一个队列，用于拓扑排序
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 对每个节点 i 进行输入
        int v;  // 定义变量 v，表示当前输入的目标节点
        while (cin >> v && v) {  // 连续读入节点的邻接节点 v，直到输入 0 结束
            addEdge(i, v);  // 添加从节点 i 到 v 的边
            du[v]++;  // 增加 v 节点的入度
        }
    }

    // 将所有入度为 0 的节点入队列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (du[i] == 0) {  // 如果 i 节点入度为 0
            q.push(i);  // 将 i 节点入队列
        }
    }
    // 进行拓扑排序
    while (!q.empty()) {  // 当队列不为空时，继续循环
        int t = q.front();  // 获取队列的第一个节点
        q.pop();  // 弹出队列中的节点
        cout << t << " ";  // 输出节点 t
        for (int j = head[t]; j != -1; j = e[j].next) {  // 遍历 t 节点的所有邻接边
            int x = e[j].to;  // 获取边的目标节点 x
            du[x]--;  // 将 x 节点的入度减 1
            if (du[x] == 0) {  // 如果 x 节点的入度变为 0
                q.push(x);  // 将 x 节点入队列
            }
        }
    }
    return 0;
}