• 数学基础 -- 三角学


    三角学

    三角学(Trigonometry)是数学的一个分支,主要研究三角形的边长与角度之间的关系。三角学在几何学、物理学、工程学等多个领域中有广泛的应用。以下是三角学的一些基本概念和公式:

    基本概念

    1. 直角三角形:一个角为90度的三角形。
    2. 斜边:直角三角形中最长的边,对应于直角的对边。
    3. 对边:某个角的对边。
    4. 邻边:某个角的邻边。

    三角函数

    1. 正弦函数 (sin) sin ⁡ ( θ ) = 对边 斜边 \sin(θ) = \frac{对边}{斜边} sin(θ)=斜边对边
    2. 余弦函数 (cos) cos ⁡ ( θ ) = 邻边 斜边 \cos(θ) = \frac{邻边}{斜边} cos(θ)=斜边邻边
    3. 正切函数 (tan) tan ⁡ ( θ ) = 对边 邻边 \tan(θ) = \frac{对边}{邻边} tan(θ)=邻边对边

    倒数三角函数

    1. 余割函数 (csc) csc ⁡ ( θ ) = 1 sin ⁡ ( θ ) \csc(θ) = \frac{1}{\sin(θ)} csc(θ)=sin(θ)1
    2. 正割函数 (sec) sec ⁡ ( θ ) = 1 cos ⁡ ( θ ) \sec(θ) = \frac{1}{\cos(θ)} sec(θ)=cos(θ)1
    3. 余切函数 (cot) cot ⁡ ( θ ) = 1 tan ⁡ ( θ ) \cot(θ) = \frac{1}{\tan(θ)} cot(θ)=tan(θ)1

    常用三角公式

    1. sin ⁡ 2 ( θ ) + cos ⁡ 2 ( θ ) = 1 \sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 sin2(θ)+cos2(θ)=1
    2. 1 + tan ⁡ 2 ( θ ) = sec ⁡ 2 ( θ ) 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) 1+tan2(θ)=sec2(θ)
    3. 1 + cot ⁡ 2 ( θ ) = csc ⁡ 2 ( θ ) 1 + \cot^2(θ) = \csc^2(θ) 1+cot2(θ)=csc2(θ)

    常用角度的三角函数值

    角度(θ) sin ⁡ ( θ ) \sin(\theta) sin(θ) cos ⁡ ( θ ) \cos(θ) cos(θ) tan ⁡ ( θ ) \tan(θ) tan(θ)
    010
    30° 1 2 \frac{1}{2} 21 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 1 3 \frac{1}{\sqrt{3}} 3 1
    45° 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22 1
    60° 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 1 2 \frac{1}{2} 21 3 \sqrt{3} 3
    90° 1 1 1 0 0 0 ∞ ∞

    应用

    1. 解三角形:利用已知的角度和边长求解未知的角度和边长。
    2. 波动和振动:正弦和余弦函数在描述波动和振动现象中具有重要作用。
    3. 导航与定位:在GPS定位和航海中,三角函数用于计算位置和方向。

    扩展三角函数定义域

    扩展三角函数定义域是指将三角函数(如正弦函数、余弦函数、正切函数等)从它们在基本定义中的常见定义域(通常是角度或弧度的有限范围)扩展到更广泛的范围,通常是整个实数集。下面是一些方法和概念,帮助你理解和扩展三角函数的定义域:

    1. 周期性:

      • 三角函数的一个基本特性是周期性。例如,正弦函数和余弦函数的周期为 2 π 2\pi 2π,即对于任意实数 x x x,都有 sin ⁡ ( x + 2 π ) = sin ⁡ ( x ) \sin(x + 2\pi) = \sin(x) sin(x+2π)=sin(x) cos ⁡ ( x + 2 π ) = cos ⁡ ( x ) \cos(x + 2\pi) = \cos(x) cos(x+2π)=cos(x)
      • 正切函数的周期为 π \pi π,即 tan ⁡ ( x + π ) = tan ⁡ ( x ) \tan(x + \pi) = \tan(x) tan(x+π)=tan(x)
    2. 无限扩展:

      • 利用周期性,可以将三角函数的定义从一个有限区间扩展到整个实数集。例如,考虑正弦函数的基本定义域是 [ − π , π ] [- \pi, \pi] [π,π],通过利用其周期性,可以定义 sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x) 在整个实数范围上。
    3. 复数扩展:

      • 三角函数还可以扩展到复数域。通过欧拉公式 e i x = cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) eix=cos(x)+isin(x),可以将三角函数扩展为复变量的函数。
      • 例如,定义复数 z = x + i y z = x + iy z=x+iy,那么正弦函数的扩展为 sin ⁡ ( z ) = sin ⁡ ( x + i y ) = sin ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) + i cos ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( y ) \sin(z) = \sin(x + iy) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y) sin(z)=sin(x+iy)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y),这里 cosh ⁡ \cosh cosh sinh ⁡ \sinh sinh 分别是双曲余弦和双曲正弦函数。
    4. 反函数的扩展:

      • 三角函数的反函数(如反正弦、反余弦、反正切)通常有有限的定义域。例如,反正弦函数 sin ⁡ − 1 ( x ) \sin^{-1}(x) sin1(x) 的定义域为 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [1,1],值域为 [ − π / 2 , π / 2 ] [- \pi/2, \pi/2] [π/2,π/2]
      • 通过考虑这些函数的周期性,可以将其值域扩展到更广范围。
    5. 特定应用场景:

      • 在一些应用中,特别是信号处理和傅里叶分析中,三角函数的定义域需要扩展到整个实数集,以处理无限时间范围内的信号。

    举个具体例子,如果你想将正弦函数从基本定义域 [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [0,2π] 扩展到整个实数集,可以利用它的周期性:
    sin ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x + 2 k π ) \sin(x) = \sin(x + 2k\pi) sin(x)=sin(x+2)
    其中 k k k 是任何整数。因此,对于任意实数 x x x,总可以找到一个整数 k k k,使得 x + 2 k π x + 2k\pi x+2 落在 [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [0,2π] 这个区间内,从而定义 sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x) 的值。

    通过这些方法,可以有效地将三角函数的定义域扩展到更广的范围,使其适用于更多的数学和工程问题。

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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/sz66cm/article/details/140254527