算法训练（leetcode）第二十八天 | 509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

509. 斐波那契数

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递归

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

// c++
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n<2) return n;
        return fib(n-1) + fib(n-2); 
    }
};

循环

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(1)$

//c++
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n<2) return n;
        int a=0, b=1;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            swap(a, b);
            b += a;
        }
        return b;
    }
};

动态规划

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

// c++
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n<2) return n;
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[1]=1;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; 
        }
        return dp[n];
    }
};

70. 爬楼梯

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本质上还是斐波那契数列。用递归会在45处时间超限。

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(1)$

// c++
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<=2) return n;
        int a=1, b=2;
        for(int i=3; i<=n; i++){
            swap(a,b);
            b+=a;
        }
        return b;
        
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

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动态规划。使用dp记录到达第i个楼梯所需要花费的费用。起始位置不需要支付费用，而起始位置可以是0和1，因此0、1位置的dp值为0.从2开始计算当前位置所需的最小花费。到达第i层的费用等于到达前一步的最小花费+前一步的花费。具体来说，若前一步是爬1个台阶到达第i层，则第i层的花费为cost[i-1]+dp[i-1]；若前一步是爬2个台阶到达第i层，则第i层的花费为cost[i-2]+dp[i-2]。

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

// c++
class Solution {
public:
    
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        
        vector<int> dp(cost.size()+1, 0);
        for(int i=2; i<=cost.size(); i++){
            dp[i] = min(cost[i-1]+dp[i-1], cost[i-2]+dp[i-2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

优化空间：上面的代码中起始每次都是只操作前面两个空间，因此只使用两个变量来计算既可。

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(1)$

//c++
class Solution {
public:
    
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        
        int a=0, b=0;
        for(int i=2; i<=cost.size(); i++){
            int mincost = min(cost[i-1]+b, cost[i-2]+a);
            a = b;
            b = mincost;
        }
        return b;
    }
};