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今天我们学习的目标:
1.算法复杂度的理解
2.知道时间、空间复杂度的概念
3.学会使用大O表示法
4.计算常见复杂度例题
算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源 。因此 衡量一个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的 ,即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
出现在面试题就大抵可以知道复杂度在这里的重要性了。
最容易想到的思路:先给数组排序,然后判断前一个数+1是否等于后一个值。不等于则返回前一个数+1。排序的复杂度是qsort O(N*logN) 显然不符合。
解决思路1:我们通过等差数列的求和公式得到总值,然后依次减去数组中的每个值。就可以找到消失的数字。但是有风险,N的值可能过大导致溢出
- //f法1 Nt太大可能会溢出
- int missingNumber(int* nums, int numsSize)
- {
- int N=numsSize;
- int sum=(0+N)*(N+1)/2;
- for(int i=0;i
- {
- sum-=nums[i];
- }
- return sum;
- }
解决思路2:这题和我们做的单身狗问题很像,那我们应该怎么转换成单身狗问题呢?
单身狗是找只出现一次的数,所以我们就可以添加一组没有缺失数字的数组。然后就变成和单身狗一样的问题了。这里不需要考虑顺序异或的问题,排不排序结果都一样。
帮大家回顾一下异或:相同数字的异或为0,不同的为1。还有任何二进制数与0异或为二进制数本身,A ^ 0 = A 。
- //法2 转成单身狗来做
- int missingNumber(int* nums, int numsSize)
- {
- int N=numsSize;
- int ret=0;
- for(int i=0;i
- {
- ret^=nums[i];
- }
- for(int j=0;j<=N;j++)
- {
- ret^=j;
- }
- return ret;
- }
二、时间复杂度
2.1时间复杂度的概念
时间复杂度的定义:在计算机科学中,
算法的时间复杂度是一个函数
,它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法
的时间复杂度。
即:找到某条基本语句与问题规模
N
之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。
2.2大O的渐进表示法
大
O
符号(
Big O notation
):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大
O
阶方法:
1
、用常数
1
取代运行时间中的所有加法常数。
2
、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3
、如果最高阶项存在且不是
1
,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大
O
阶。
解释一下为什么只保留最高项呢,我们假设时间复杂度的函数是Fun(N)=N^2+3N+1,当N=1000时,Fun=1000000+3000+1=1003001几乎可以看作1000000。那就会有人说了,N的值很小时,那这样每个算法的执行时间都差不多的。所以我们只考虑N为很大的值时。
2.3常见的时间复杂度例题计算
例题1
看来前面时间复杂度的概念就知道了,其实就是看循环次数。第一个for循环里面应该是2 * N次
(因为是[0,2 * N - 1]这里用闭区间表示),再来数while循环里面的次数(M--)M次。
O(2 * N + 10)最后时间复杂度化简为O(2 * N)。
- // 计算Func2的时间复杂度?
- void Func2(int N)
- {
- int count = 0;
- for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
- {
- ++count;
- }
- int M = 10;
- while (M--)
- {
- ++count;
- }
- printf("%d\n", count);
- }
例题2
这里是冒泡排序的时间复杂度计算,冒泡排序本质就是相邻的两个数比较谁大谁放后面(这里默认是升序)。我们这里分两种情况讨论,最好和最坏情况。
最好情况:当数组已经排好序了,就只需要走一遍最外面的循环。所以时间复杂度为O(N)。
最坏情况:数组没有顺序时,第二层for循环也要走,一共N个数两两比较。最多要比较N-1次。
因为第二层的比较次数会随着第一层改变而改变。也就是N-1+N-2+.........+1根据最坏情况可知一共有N-1项,所以就可以使用等差数列求和公式来计算。(N -1)* (N-1+1)/2时间复杂度为O(N^2)
- // 计算BubbleSort的时间复杂度?
- void BubbleSort(int* a, int n)
- {
- assert(a);
- for (size_t end = n; end > 0; --end)
- {
- int exchange = 0;
- for (size_t i = 1; i < end; ++i)
- {
- if (a[i-1] > a[i])
- {
- Swap(&a[i-1], &a[i]);
- exchange = 1;
- }
- }
- if (exchange == 0)
- break;
- }
- }
例题3
这里是递归的时间复杂度计算,先给上结论递归的时间复杂度计算是把每次递归里面循环次数相加。因为里面没有任何其他的循环语句所以就是一次,一共递归N次所以就是N个1相加。时间复杂度为O(N)。
- // 计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
- long long Fac(size_t N)
- {
- if(0 == N)
- return 1;
-
- return Fac(N-1)*N;
- }
三、空间复杂度
3.1空间复杂度的概念
空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中
临时占用存储空间大小的量度
。
空间复杂度不是程序占用了多少
bytes
的空间,因为这个也没太大意义,所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似,也使用
大
O
渐进表示法
。
注意:
函数运行时所需要的栈空间
(
存储参数、局部变量、一些寄存器信息等
)
在编译期间已经确定好了,因
此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
3.2大O的渐进表示法
与时间复杂度的大O表示法大致一样。
3.3常见的空间复杂度例题计算
其实空间复杂度就是额外开辟空间的大小。
例题1
我们在函数里面找额外开辟的变量,发现有end、i、exchange三个额外变量。所以我们这里的空间复杂度是常数个,所以为O(1)。
- // 计算BubbleSort的空间复杂度?
- void BubbleSort(int* a, int n)
- {
- assert(a);
- for (size_t end = n; end > 0; --end)
- {
- int exchange = 0;
- for (size_t i = 1; i < end; ++i)
- {
- if (a[i-1] > a[i])
- {
- Swap(&a[i-1], &a[i]);
- exchange = 1;
- }
- }
- if (exchange == 0)
- break;
- }
- }
例题2
这里我们发下先他新创建了一个指针(等价于数组),我们默认新创建的数组复杂度为N,还有一共变量i,O(N+1)空间复杂度化简为O(N)。
- // 计算Fibonacci的空间复杂度?
- // 返回斐波那契数列的前n项
- long long* Fibonacci(size_t n)
- {
- if(n==0)
- return NULL;
-
- long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
- fibArray[0] = 0;
- fibArray[1] = 1;
- for (int i = 2; i <= n ; ++i)
- {
- fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
- }
- return fibArray;
- }
例题3
这里是递归的空间复杂度计算,还是和时间复杂度计算一样的。把每次调用相加起来,我们调用函数都会开辟一个新的栈帧,我们一共要调用N次所以空间复杂度为O(N)。
- long long Fac(size_t N)
- {
- if(N == 0)
- return 1;
-
- return Fac(N-1)*N;
- }
总结
学习复杂度是为了让我们在解决一些问题会有多种想法,通过计算复杂度来选择最优的思路。复杂度分析对于设计和评估算法的效率非常重要。通常我们希望设计出时间复杂度和空间复杂度都尽可能低的算法,以提高算法的性能和适用性。复杂度分析是算法设计和分析的核心内容之一。
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原文地址:https://blog.csdn.net/2302_80867815/article/details/139800690