• 考研计组chap2数据的表示和运算

    3一、进位计数制

    1.r进制

    第i位表示r进制的权为i

    2.进制转换

    （1）r->10

    对应位置数*权值

    （2）2 -> 16 or 8

    每三位2进制数可表示1位16进制

    每四位2进制数可表示1位16进制

    so 分开之后转为16进制即可

    eg：11 1100 0010.01101转8、16

    0011 1100   0010.0110 1000 => ( 3 C 2. 6 8)H

     001 111 000 010.011 010 => (1 7 0 2 . 3 2)O

    （3）10->2、16、18

    way1：

    整数部分:除r留余数

    小数部分:乘r留整数

    eg:123.6875->2进制

    整数部分 123

    123/2 = 61 ……1 

    61/2 = 30……1

    30/2 = 15……0

    15/2=7……1

    7/2 =3……1

    3/2=1……1

    1/2=0……1

    1101111

    小数部分0.6875

    0.6875*2=1.375

    0.375*2=0.75

    0.75*2=1.5

    0.5*2=1

    1011

    so -> 110111.1011

    way2：凑数

    123=64+32+16+8+2+1 = 2^6+2^5+2^4+2^3+2^1+2^0=1111011

    0.6875=0.5+0.125+0.0625 = 2^-1+2^-3+2^-4=.1011

    so 123.6875 = 1111011.1011 

    3.真值和机器数

    真值：人类习惯的

    机器数：计算机里的样子 2 or 8 or 16进制

    无符号数 or 有符号数

    ATTn:计算机中数字是以补码形式存在，so运算时使用补码

    二、码转制计算(binary)

    1.原码

    2.反码

    符号位不变，数值位01互变

    3.补码

    反码+1

    补码->原码 :way1:-1,数值位01互换

    way2:数值位01互换+1

    特殊:

    x为定点整数，[x]补 = 1,0000000 -> x = -2^7

    x为定点小数，[x]补 = 1.0000000 -> x = -1

    [x]补->[-x]补 : 全01互换 +1

    4.移码

    补码符号位01互换，数值位不变

    5.符号位+数值位

    整体占机器字长n

    三、加法替代减法

    利用补码，-[x]补 =  +[-x]补

    四、0扩展、符号扩展 34

    五、C语言强制类型转换 32

    1.有符号数 <==> 无符号数

    内容不变，直接按照规则看即可

    1.     short x = -4321;//2B=16bit
    2.     // [-4321]原 = 1001 0000 1110 0001
    3.     // [-4321]补 = 1110 1111 0001 1111
    4.     // [y]补 = 1110 1111 0001 1111 =>[y]原->真值61,215
    5.     unsigned short y = (unsigned short)x;

    2.长 ->短

    长的部分直接截断

    1.     int a = 165537;//4B=32bit
    2.     // [a]原 = 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1010 0001 -> [a]补
    3. //    -> Ox0002 86a1(直接从IDE内存视图中获取)
    4.     short b = (short)a;//2B=16bit
    5. //    ->0x86a1 -> -31071
    6.     printf("b = %d\n",b);

    3.短 ->长(符号扩展)

    so 数值不变，仅是精度变大

    （1）有符号数

    符号位和数值位之间补符号数

    1.     short c =-4321;
    2.     //0xef1f ->0xffff ef1f
    3.     int m = x;

    （2）无符号数

    符号位和数值位之间补0

    ATTn：顶点整数在计算机中用补码存储

    1.     unsigned short q = 61215;
    2.     //0xef1f -> 0x0000 ef1f
    3.     unsigned int p=(unsigned short ) q;

    六、电路补充知识——门电路

    逻辑门

    1.与

    (1)表达式

    Y = A·B = AB   

    (2)图形符号（只表示国际画法）（常用）

    2.或

    (1)表达式

    Y = A+ B

    (2)图形符号

    3.非

    (1)表达式

    (2)图形符号

    4.或非 

    先或后非

    (1)表达式

    (2)图形符号

    5.异或 

    判断是否有异

    (1)表达式

    (2)图形符号

    6.同或

    异或取反

    (1)表达式

    (2)图形符号

    7.门变形画法

    多个输入，else不变

    8.三种基本逻辑运算的优先级

    非  > 与 > 或

    (用数学符号理解)

    eg：(1) Y = AB + CD 先AB 、CD 后取或 

    （2）A(B+C)D 先B+C 再 A 、D

    9.常见公式

    （1）交换律

    A(B+C) = AB+AC

    （2）结合律

    ABC=A(BC)

    A+B+C = A+(B+C)

    （3）反演律

    七、加法器 (二进制)

    此部分只需知道加法器(FA)的构成，标志位的名称和作用

    1.一位加法器(FA)

    （1）实现

    一次只能计算1bit,Ai表示被加数本位，Bi表示加数本位，Ci-1表示来自低位的进位，Si表示本位和，整体利用逻辑运算进行实现

    ATTn：只能进行无符号数加减

    （2）Si

    Si当有奇数个1时本位为1，有偶数个1时本位为0

    （3）Ci

    至少有两个1时才能进位

    （4）图形

    2.带标志位的加法器 40

    （1）介绍

    在FA的基础上加上四个标识器，从而可以进行有符号数加减

    （2）标识

    1）OF(Overflow Flag) 

    表示带符号数是否溢出， OF  = 1溢出；OF = 0不溢出

    2）ZF(Zero Flag)

    表示结果是否为0 ZF = 1 0；ZF = 0， 不为0

    3）SF(Sign Flag)

    表示结果为负or 正 SF =  1，为-，SF = 0，为+

    4）CF(Carry Flag)

    表示无符号数是否溢出， CF  = 1溢出；CF = 0不溢出

    （3）图形

    1bit计算效率低，so产生两种方式：串行 or 并行 

    3.并行加法器(串行)

    将多个FA串联

    disa：后面需要等待前面运行的结果，效率也低

    4.并行进位的并行加法器

    （1）介绍

    对并行加法器进行优化

    根据数学推导，if将前面运行之后的结果一并送到后面，则效率会提高

    但是if太多，则线路就会很麻烦，so一般规定4个FA并行

    由此产生4位CLA加法器

    （2）图形

    八、电路知识补充——多路选择器 & 三态门

    1.多路选择器

    （1）作用

    门卫，同时可以守多道门，只允许一个通过

    （2）图形

    ATTn：m >= log 2 n

    2.三态门

    （1）作用

    门卫，同时只能守一道门，决定是否通过

    （2）图形

    OP = 1 通过 OP  = 0 不通过

    if 通过了，逐位取反之后通过

    dis非门：三态门有控制信号

    九、算数逻辑单元(ALU) 40

    1.概念

    ALU是运算器的核心，ALU的核心是（带标志的）加法器

    1.功能

    算数功能、逻辑功能、else

    2.实现原理

    加法器，四个标志，与或

    3.看懂ALU图示

    因为核心是加法器，so图示与加法器相似，多一个操作控制端(ALUop),选择进行什么操作，决定了ALU功能数

    4.考点

    （1）ifALU支持k种功能 则控制信号位数m>= log2 k up 

    （2）ALU的运算数、运算结果位数与计算机的机器字长相同

    （3）标志位的特性

    （4）标志位信息送入PSW程序状态寄存器(标志寄存器FR)

    十、定点数移位运算 41

    1.算术移位

    当作有符号数，右移补0，左移补符号位

    2.逻辑移位

    当作无符号位，左右移均补0

    3.循环移位

    （1）不带进位位

    （2）带进位位

    十一、定点数加减运算 

    1.原码 44

    直接使用原码就是对应数位数值相加，可能会导致溢出

    eg:1110 1111 

    +   0001 0001

    = 1 0000 0000  溢出了

    2.补码 41

    （1）计算

    转为补码进行运算

    x  - y = x + [-y]补   所有数在计算机中以补码形式存在

    x ->-x  全取反 +1 

    eg : 15+24 15-24     P41
    [x]原 = 0000 1111 = [x]补 [y]原 =  0001 1000 =[y]补
    [x+y ]补= 0000 1111
                + 0001 1000
                = 0010 0111   =[x+y]原 ->真值 = +39
       [-y]补 = 1110 1000
    [x-y]补=  0001 1111
                 +1110 1000
                = 1111 0111   -> [x-y]原 = 1000 1001 ->真值 -9

    （2）溢出判断

    way1：+++ = -  上溢   -+- =  + 下溢

    way2：一位符号位（模2补码），加法器中，if 本位 As、Bs 、结果位 Ss 有异号，则说明溢出

     

    V  = 0无溢出；V = 1溢出

    way3：双符号位（模4补码），S1S2 == 00 结果为+，无溢出；S1S2 == 01 上溢；S1S2 == 10下溢；S1S2 == 11 结果为-，无溢出

    ATTN:只存储一位符号位，运算前复制一位之后进行运算 

    way4：符号位和数值位最高位
    V = 0 不溢出 V  =1 溢出

    有符号数 vs 无符号数

    操作相同，way1：手算，看结果是否在正常范围内

    way2：机算(溢出了)：正数：最高位进1了；负数，最高位进0了

    （3）补码加减的运算电路 42

    十二、乘法运算 

    1.原码

    正常小学算法中，0.1101*0.1011(二进制)

              0.1101（被乘数）

            *0.1011（乘数）

                  01101

                011010

                000000

            01101000

      = 0.10001111

      看乘数的数位，为1，加被乘数；为0，不加，每次加完被乘数左移再写

    （1）加法器中

    ACC表示中间结果，起初全为0，MQ中存放乘数，X中存放被乘数。

    eg：01101*0.1011

    当乘数为1时，（ACC+01101）->（ACC）

    每次加完之后ACC逻辑右移，相当于被乘数逻辑左移，so观察5次乘数尾数，右移4次后终止

    （2）手算模拟

    step1：先取x、y绝对值，因为是乘法，so先把符号位放着，最后确定符号位。

    step2：双符号位运算

    step3：符号异或（or常识）获得，数值位为ACC除了符号位+MQ中除了符号位

    eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = -0.1101，y=+0.1011，求xy

    step1：|x| = 00.1101 |y|= 00.1011   （原码）

    step2：(如图)

    step3：负数肯定符号位为1，key = 1.1000 1111

    2.补码(Booth算法)

    类比补码加法，使用补码进行运算，符号位参与运算，在乘数处运用辅助位(置于末尾)，辅助位-数值位最低位(此处只是好记，实际上最低位是辅助位)，根据正负对应+[+/-x]补，加完之后ACC算术右移，最后n次加完之后仍需判断进行+[+/-x]补，so一共n次右移，n+1次加减

    （1）加法器中

    （2）手算模拟

    step1：转为补码

    step2：符号位-最低位进行加减

    step3：n次右移之后判断再+1次

    step4：key为ACC+MQ除了原符号位

    十三、除法运算

    1.原码

    小学方法：计算之后被除数-该位商*除数 ，之后补0再运算

    由此可知，除法可理解为拼凑，商是找最接近被除数的除数的多少个整数倍，余数是被除数-该位商*除数的数，也就是接下来还需要拼凑的部分

    （1）恢复余数法

    因为二进制只会商0 or 1，so根据当时拼凑的数与除数的大小进行判断。但因为计算机设置，商默认为1，由此先减去，之后判断是否为+or-，if为-则说名商1不行，则改为0，同时因为拼凑部分-y了，需+回去，so名字为恢复余数法

    eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = 0.1011，y=0.1101，求x/y

    |x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补=  0、1101 [-|y|]补 = 1.0011

    1）加法器中

    在加法器中，ACC放置被除数，MQ放置商，X放置除数

    2）手算模拟

    step1：计算|x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补=  0.1101 [-|y|]补 = 1.0011

    step2：商1，+[-|y|]补，检测是否正确，if拼接-除数 <0,则恢复0 且+[|y|]补

    step3:计算完之后MQ、ACC左移（相当于除数右移），再取商，直到MQ位满

    step4：最后检测商0是否正确，if不对还得修改

    step5：最后结果 商为（MQ），余数为(ACC)*2^(-n)，attn小数点的补充

    3)逻辑图

    （2）加减交替法（不恢复余数法）

    思考：能否不那么麻烦，来回更改0/1，还需要逻辑左移； ->通过数学推导，省略中间过程

    if 余数为-，则需要改为0····，这时直接(左移)2*余数+|除数|即可；商1，与之前相同(左移-|除数|)

    1）手算模拟

    eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = 0.1011，y=0.1101，采用加减交替法求x/y

    |x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补=  0.1101 [-|y|]补 = 1.0011

              被除数/余数          商

                  0.1011

    +[-|y|]补 1.0011

                  1.1110                0        

     左移      1.1100

    +[|y|]补   0.1101

                  0.1001               01

     左移      1.0010

    +[-|y|]补 1.0011

                    0.0101               011

    左移        0.1010

    +[-|y|]补   1.0011        

                    1.0011            0110

    左移         0.0110

    +[|y|]补     0.1101

                    0.0111        01101

    最后判断符号  so 商0.1101  余数 0.0111*2^(-4)

    2)逻辑图

    2.补码(加减除数法)

    dis 原码： 补码中符号参与运算，使用双符号位

    （1）thought

    符号参与运算，so运算数不需要取| |，使用数字之间的符号同异进行判断，除数和被除数符号确定加件除数，余数和除数判断商。

    首先判断除数和被除数是否同号，同号-除数，异号+；±完之后与除数判断商即可，同号商1，异号商0，重复n次

    （2）手算

    eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = +0.1000，y=-0.1011，采用补码加减交替法求x/y

    [x]补 = 00.1000 [y]补 = 11.0101 [-y]补 = 00.1011

                            被除数/余数(ACC)                  MQ

                            00.1000  异号                      00000

    +[y]补               11.0101                        

                            11.1101  同号                        00001

     左移                11.1010

      +[-y]补            00.1011 

                            00.0101  异号                       00010

    左移                 00.1010

       +[y]补            11.0101

                             11.1111  同号                         00101

    左移                 11.1110

      +[-y]补            00.1011   

                              00.1001   异号                      01010

    左移                   01.0010

       +[y]补             11.0101

                             00.0111    异号                       10100   正常情况商0，但是为了减小误差恒1

    十四、数据的存储和排列 61

    1.大端存储 vs 小段存储

    c short 类型2B = 16bit，->16进制4位，  小端存储 即 倒着，so c = 0xef1f 

    3.字 vs 字节 

    32bit机器中，1字= 32bit

    字节 1Byte = 8bit

    4.边界对齐 vs 边界不对齐

    一行1字，char(1B)占1/4字，short占半字，每半字为单位

    十五、浮点数的表示与运算 55

    类似科学计数法

    1.浮点数的表示 55

    （1）表示

    1）阶码

    表示次数

    2）尾数

    具体数值

    3）真值

    真正的数值

    （2）规格化

    1)左规

    尾数算数左移，阶码-1

    2)右规

    尾数算数右移，阶码+1

    3)原码

    数值位最高位为1，具有符号位

    正数:0.1xxx……x

    负数:1.1xxx……x

    4)补码

    尾数最高数值位与符号位相反

    正数:0.1xxx……x

    负数:1.0xxx……x

    （3）表示范围(已删除)

    2.IEEE 754标准 56

    （1）表示

    阶码用移码表示，尾数用原码表示

    移码 = 真值+偏置值

    dist：在进行码之间转换时，规定偏置值为2^（n-1）

    在IEEE 754中 规定偏置值为2^(n-1) -1 则float 偏置值为127

    （2）data类型(eg float)

    考察:float、 double、long double

    阶符ms    阶码E    尾数M(隐含1.)  机器字长  

    1                  8          23                         32

    （3）格式

    ms;E;M ->转为16进制

    （4）真值 <==>规格数

    1)真值 ->IEEE 754 

    step：

    step1：根据符号定ms

    step2：整数部分和小数部分转为2进制，化为类科学计数法

    step3：根据次方定E，E用移码表示----E 移码 = 真值 + 偏置值 (way2)

    step4：隐藏1定M

    step5：补位、组合后化为16进制

    eg:十进制-8.25 ->IEEE 754 float   p58

    step1:

    ms = 1

    step2：

    8D  = 1000B 0.25D = 0.01B 

    8.25D = 1000.01B = (1.00001B)*2^3

    step3：

    E = [3]移码 = 10000010

    way1:[3]移码=10000011 -1 = 1000010 (普通 -1)

    way2:3+127=130当作无符号数  = 1000010

    step4：M  = 00001

    step5：float 1+8+23

    ms = 1 E = 10000010 M = 0000100000……0(补0到23位)

    so 1;100 0001 0 ; 000 0100 0000 0000 0000 0000 ->   C104 0000H 

    2)IEEE 754 ->真值

    step:

    step1:16进制化为2进制，分成ms、E、M

    step2：根据ms定正负，E转为真值，M+1. 

    step3:组装 ->化为10进制

    eg:IEEE754 C640 0000H ->真值

    step1: C640 0000H-> 1100 0001 0000 0100 16个0  B

    ms =  1 E = 1000 0010 M =  100 16个0

    step2:ms表示负数  E =  13D

    M -> 1.1B ->1.5D 

    step3: - 1.5* 2^13

    （4）特殊值（float）

    1）原因

    IEEE754的偏置值为127，so -127表示全0，-128表示全1，so用作了特殊用途

    2）数值
    符号位表正负
    i)+0  vs -0 

    阶码全0 ，尾数全0

    ii)+∞ vs -∞

    阶码全1，尾数全0

    iii)无规格化正数 vs 无规格化负数

    阶码全0，尾数不全为0，表示极小的正负数

    iV)NAN

    阶码全1，尾数不全为0

    3.浮点数的运算 

    （1）加减运算 59

    steps:
    step0:转换成二进制补码(阶码和数码)

    step1:齐阶

    用阶相减之后的正负表示大小，小->大靠拢

    step2:尾数相加(减)

    step3:规格化(符号位同号)

    step4:舍入(末尾为0则不用舍入)

    step5:判断溢出(阶次是否溢出)

    step6:转为真值

    eg:十进制 X = -5/256,Y = +59/1024,计算X-Y,结果用2进制表示，浮点数格式:阶符数2位，阶码位3位，数符2位，尾数9位

    step0：

    X =  -5/256 = -101*2^(-101) Y = +59/1024 = 0.111011*2^(-100) 二进制 

    X : 11011,11.011000000 Y: 11100,00.111011000

    step1:

    11011 - 11100 = 11011 + 00100 = 11111 -> -1

    X : 11011,11.011000000  -> 11100,11.1011000000 

    step3:

    X - Y = X+ （-Y ） = 11.01100000+11.000101000 = 10.110001000

    step4: 

    X - Y : 11100,10.110001000  右移 -> 11101,11.011000100

    4.末尾为0，无舍入

    5. 无溢出 真值 2^(-3)*(-0.110001)2

     （1+）进行舍入分析

    1)就近舍入(0舍1入)

    看末尾

    2)直接置1

    不管末尾为0 or 1,将最后一位置1

    （2）类型转换(32bit机器) 60

    1)无损

    char->int->long->double 

    float->double

    2)有损

    int 表示32位整数(1+31)，float表示32位浮点数(1+8+23)

    so int 范围 -2^31-1 ~2^31 -1,float 范围2^(-126)~1.1……1*2^(127)

    int ->float 31位表示精度，float24位(1隐藏了)表示精度，so会有精度损失

    float ->int 直接截断了

  • 相关阅读:
    台式机卡死救机心情点滴记录第二篇
    ​构建自定义 AXI4-Stream FIR 滤波器
    C++编程练习系列（1）C++和标准库速成
    网络原理---拿捏TCP机制原理
    16. Python 比较运算
    分布式锁的三种实现方式
    Jetson Xavier NX 平台gstreamer elements 在Jetpack 5.0.2更慢比Jetpack 4.6
    【算法训练-动态规划 一】【应用DP问题】零钱兑换、爬楼梯、买卖股票的最佳时机I、打家劫舍
    【周赛复盘】力扣第 305 场单周赛
    2022年大一学生实训作业【基于HTML+CSS制作中华传统文化传统美德网站 (6页面)】
  • 原文地址：https://blog.csdn.net/straight_out/article/details/139065850