点到参数曲面的最小距离、参数曲面间的最小距离（如样条曲面）、拓扑面间的最小距离（OpenCascade）

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前言

刚好有时间总结下。

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推荐比较好的几何内核入门书籍《几何造型学》（中译版）
链接：https://pan.baidu.com/s/1QqMaHACbues7N7ASpgw45Q
提取码：1234

偷懒，尽量贴图，有功夫再去梳理下各种英/中文数据和文献。
最优化四剑客（我认为是世面上最好的最优化理论教材了，有理论有实践）：

一、点到参数曲面的最近距离

求解点到参数曲面的最近距离是几何造型里的一个基本问题，在许多地方都用的上，如曲面求交、布尔运算的隶属度分析，本质上是一个约束最优化问题，但对于简单无裁剪的参数曲面如NURBS等，可以使用添加越界处理来解决(直接考虑无约束最优化)。在piegl的书《The Nurbs Book中有关于点的反求介绍。

具体数值求解方法上，不过是单变量的曲线还是双变量（u,v）的曲面，采用的都是无约束最优化中的方法，如梯度法（求解Jacobian矩阵）、逆牛顿方法（BFGS及改进类）等，（约束最优化，如SQP、信赖域等方法要求比较高，并未使用）。
OpenCascade中Extrema_ExtPC类实现的是上述功能，数值求解的具体实现在TKMtah包中。

二、参数曲面间的最小距离

类似的：

三、点到拓扑曲面的最小距离、拓扑曲面间的最小距离

在OpenCascade中，对于求点到拓扑曲面的最小距离的处理非常粗暴，直接用个BRepClass_FaceClassifier判定通过在拓扑面（TFace）上的几何面(GeomFace)上求得的最近点是否在拓扑面中，不在则不存入结果中。

其实仔细分析会发现，重新查找下边界上的点，拓扑面的最优解一定在拓扑面边界上。因为获得的点是通过对几何面(GeomFace)数值求解得到的，相当于是无约束（简单边界约束）的最优值，这说明对应的真实解处约束起作用，根据最优化中的KKT等条件，会发现最优解一定在边界上。虽然这个工作量不小，但还是希望OCC后续能完善下。

对于拓扑面间的最小值也是一样