法线方程实现最小二乘拟合（Matlab）

一、问题描述

利用法线方程实现最小二乘拟合。

二、实验目的

掌握法线方程方法的原理，能够利用法线方程完成去一组离散数据点的拟合。

三、实验内容及要求

1. 对于下面的不一致系统，构造法线方程，计算最小二乘以及2-范数误差。
   [ 3 − 1 2 4 1 0 − 3 2 1 1 1 5 − 2 0 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 10 10 − 5 15 0 ] \left[

   3−12410−321115−203" role="presentation">34−31−2−1121020153$$\begin{array}{rrr}3& -1& 2\\ 4& 1& 0\\ -3& 2& 1\\ 1& 1& 5\\ -2& 0& 3\end{array}$$
   \right] \left[
   x1x2x3" role="presentation">x1x2x3$$\begin{array}{r}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}$$
   \right] = \left[
   1010−5150" role="presentation">1010−5150$$\begin{array}{r}10\\ 10\\ -5\\ 15\\ 0\end{array}$$
   \right] ​34−31−2​−11210​20153​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​= ​1010−5150​ ​

   % 系数矩阵
   A = [3, -1, 2;
        4, 1, 0;
       -3, 2, 1;
        1, 1, 5;
       -2, 0, 3];
   
   % 右侧的常数矩阵
   B = [10; 10; -5; 15; 0];
   
   % 使用最小二乘法求解
   X = lsqlin(A, B);
   
   % 计算法线方程的系数
   a = X(1);
   b = X(2);
   c = X(3);
   
   fprintf('构造的法线方程: %.2fx + %.2fy + %.2fz\n', a, b, c);
   fprintf('最小二乘解: x1 = %.2f, x2 = %.2f, x3 = %.2f\n', X(1), X(2), X(3));
   
   % 计算2-范数误差
   error = norm(A * X - B, 2);
   fprintf('2-范数误差为: %.2f\n', error);
   

2. 如下为日本2023 年的每月石油消耗数据。
   利用周期模型y = c1 + c2 * cos2𝜋 + c3 * sin2𝜋 + c4 * cos4𝜋进行拟合，并计算RMSE。

   month	oil use (10^6 bbl/day)
   Jan	6.224
   Feb	6.665
   Mar	6.241
   Apr	5.302
   May	5.073
   Jun	5.127
   Jul	4.994
   Aug	5.012
   Sep	5.108
   Oct	5.377
   Nov	5.510
   Dec	6.372

   % 输入数据
   month = 1:12;
   oil_use = [6.224, 6.665, 6.241, 5.302, 5.073, 5.127, 4.994, 5.012, 5.108, 5.377, 5.51, 6.372];
   
   % 构造周期模型
   A = [ones(12, 1), cos(2 * pi * month'/12), sin(2 * pi * month'/12), cos(4 * pi * month'/12)];
   
   % 使用最小二乘法求解
   c = lsqlin(A, oil_use);
   
   % 构造法线方程
   y_fit = c(1) + c(2) * cos(2 * pi * month/12) + c(3) * sin(2 * pi * month/12) + c(4) * cos(4 * pi * month/12);
   
   % 计算RMSE
   rmse = sqrt(mean((oil_use - y_fit).^2));
   
   fprintf('构造的法线方程: y = %.4f + %.4f * cos(2*pi*x/12) + %.4f * sin(2*pi*x/12) + %.4f * cos(4*pi*x/12)\n', c(1), c(2), c(3), c(4));
   fprintf('最小二乘解: c1 = %.4f, c2 = %.4f, c3 = %.4f, c4 = %.4f\n', c(1), c(2), c(3), c(4));
   fprintf('RMSE: %.4f\n', rmse);
   

四、算法原理

给出法线方程进行数据拟合的过程。

背景：
数据拟合是一种通过数学模型来近似描述和预测现有数据的方法。法线方程（Normal Equation）是一种常用于最小二乘法（Least Squares）的工具，用于找到最优拟合参数，以最小化观测数据与模型预测之间的误差。

法线方程的基本形式：
对于一个线性模型，假设我们有一个包含m个样本的矩阵X（设计矩阵）和一个包含目标变量的列向量y，线性模型可以表示为：

$y=X\beta +\epsilon$

其中，$y$ 是目标变量，$X$ 是设计矩阵，$\beta$ 是待求参数向量，$\epsilon$ 是误差向量。最小二乘法的目标是找到最优的$\beta$，使得误差的平方和最小。

法线方程的推导：
法线方程通过对最小二乘问题的偏导数为零的条件进行求解而得到。对于线性回归问题，法线方程可以写作：

$X^{T}X\beta =X^{T}y$

其中，$X^T$ 表示矩阵 $X$ 的转置。解这个方程可以得到最优的参数向量 $\beta$。

法线方程的拟合过程：

1. 构造设计矩阵 (X)： 将样本数据按照模型的形式构造成设计矩阵。每一行对应一个样本，每一列对应一个特征。

2. 构造目标变量向量 (y)： 将观测到的目标变量按照样本顺序构造成列向量。

3. 计算法线方程： 使用法线方程 $X^{T}X\beta =X^{T}y$ 求解参数向量 $\beta$。这可以通过直接求解方程或者使用矩阵运算库中的函数来完成。

4. 得到最小二乘解： 将得到的参数向量 $\beta$ 代入线性模型，得到最小二乘拟合的结果。

5. 评估拟合效果： 可以使用各种评估指标，如均方根误差（RMSE）、残差分析等，来评估拟合模型与实际数据之间的拟合质量。

优势和注意事项：

• 优势： 法线方程提供了一种解决最小二乘问题的直观数学方法，具有简单、清晰的数学推导过程。

• 注意事项： 在实际应用中，需要确保模型假设的合理性，避免过拟合或欠拟合。此外，若设计矩阵 $X^{T}X$ 不可逆，可能需要考虑正则化方法。

总结：
法线方程作为最小二乘法的数学基础，为数据拟合提供了可靠的理论支持。通过构造法线方程，我们能够得到最优参数，实现对数据的准确拟合。在实际应用中，理解法线方程的原理对于建立有效的拟合模型至关重要。

五、测试数据及结果
1.给出构造的法线方程、最小二乘解、2-范数误差；

2.给出构造的法线方程、最小二乘解、RMSE.

六、总结与思考

法线方程作为最小二乘法的数学基础，为数据拟合提供了可靠的理论支持。通过构造法线方程，我们能够得到最优参数，实现对数据的准确拟合。在实际应用中，理解法线方程的原理对于建立有效的拟合模型至关重要。