Day51:动态规划 LeedCode 300.最长递增子序列 674. 最长连续递增序列 718. 最长重复子数组

300. 最长递增子序列

中等

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的

子序列

。 

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

思路:

动态规划五部曲:

1.dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

2.状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

3.初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

为什么不仅仅设置dp[0]=1?

因为在之前有比当前nums[i]小的数时,dp[i]才被赋值,如果前面都没比nums[i]小的数,dp[i]就等于初始值,这个初始值应该为1,因为此时以Nums[i]结尾的子串长度为1

if(nums[i]>nums[j])
            dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);

4.确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历

5.举例

代码参考:

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
     int[] dp=new int[nums.length];
    //初始化
    for(int i=0;i
        dp[i]=1;
    }
     for(int i=1;i
        for(int j=0;j
            if(nums[i]>nums[j])
            dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
        }
     }
     //取最长长度
     int result=0;
     for(int i=0;i
        result=Math.max(result,dp[i]);
     }
     return result;
    }
}

---

674. 最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 

示例 2：

输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

思路:

与上题相比,本题多了一个要求:连续!

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

2.确定递推公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

3.dp数组如何初始化

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

4.确定遍历顺序

dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历

5.举例

代码参考:

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
  int[] dp=new int[nums.length];
  //初始化
  for(int i=0;i
    dp[i]=1;
  }
  int result=1;
  for(int i=1;i
    if(nums[i]>nums[i-1]){
       dp[i]=dp[i-1]+1;
    }
    result=Math.max(result,dp[i]);
  }
  return result;
    }
}

---

718. 最长重复子数组

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。

示例 2：

输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出：5

提示：

• 1 <= nums1.length, nums2.length <= 1000
• 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

思路:

动态规划五部曲:

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i 为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 

为什么用二维数组表示?

因为两个子串重复子串的位置在两个子串中可能不同

2.确定递推公式

当A[i ] 和B[j ]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

3.dp数组如何初始化

dp[i][0] 和dp[0][j]都要初始化

   int result=0;
      for(int i=0;i
        if(nums1[i]==nums2[0]){
            dp[i][0]=1;
        }
            result=Math.max(result,dp[i][0]);
      }
     for(int i=0;i
        if(nums2[i]==nums1[0]){
            dp[0][i]=1;
        }
            result=Math.max(result,dp[0][i]);
      }

4.确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B,互换也行

   for(int i=1;i
        for(int j=1;j
            if(nums1[i]==nums2[j]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            }
            result=Math.max(result,dp[i][j]);
        }
     }

5.举例

代码参考:

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
      int[][] dp=new int[nums1.length][nums2.length];
      //初始化
      int result=0;
      for(int i=0;i
        if(nums1[i]==nums2[0]){
            dp[i][0]=1;
        }
            result=Math.max(result,dp[i][0]);
      }
     for(int i=0;i
        if(nums2[i]==nums1[0]){
            dp[0][i]=1;
        }
            result=Math.max(result,dp[0][i]);
      }
     //更新dp数组and result
     
     for(int i=1;i
        for(int j=1;j
            if(nums1[i]==nums2[j]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            }
            result=Math.max(result,dp[i][j]);
        }
     }
  return result;
    }
}