根据散度定义推导其在柱坐标和球坐标下的表达式

该回答引用自GPT-3.5,由博主GISer Liu编写：

根据散度的定义，我们知道在直角坐标系下，一个向量场 F=Fxi+Fyj+Fzk\mathbf{F} = F_x \mathbf{i} + F_y
\mathbf{j} + F_z \mathbf{k}F=Fx​i+Fy​j+Fz​k 的散度为：
∇⋅F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x}

• \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial
  z}∇⋅F=∂x∂Fx​​+∂y∂Fy​​+∂z∂Fz​​
  现在我们来推导在柱坐标系下和球坐标系下的散度表达式。

  在柱坐标系下的散度表达式推导

  在柱坐标系下，一个向量场 F=Frer+Fθeθ+Fzez\mathbf{F} = F_r \mathbf{e}r + F{\theta}
  \mathbf{e}_{\theta} + F_z \mathbf{e}_zF=Fr​er​+Fθ​eθ​+Fz​ez​ ，其中
  er\mathbf{e}rer​、eθ\mathbf{e}{\theta}eθ​、ez\mathbf{e}_zez​ 分别是柱坐标系的单位矢量。
  首先，柱坐标系下的梯度算子表达式为：
  ∇=∂∂rer+1r∂∂θeθ+∂∂zez\nabla = \frac{\partial}{\partial r} \mathbf{e}r +
  \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \mathbf{e}{\theta} +
  \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{e}_z∇=∂r∂​er​+r1​∂θ∂​eθ​+∂z∂​ez​
  我们需要将梯度算子的表达式代入散度的定义中计算。首先计算 ∇⋅er\nabla \cdot \mathbf{e}r∇⋅er​：
  ∇⋅er=1r∂∂r(r⋅1)=1r∂r∂r=1\nabla \cdot \mathbf{e}r = \frac{1}{r}
  \frac{\partial}{\partial r} (r \cdot 1) = \frac{1}{r} \frac{\partial
  r}{\partial r} = 1∇⋅er​=r1​∂r∂​(r⋅1)=r1​∂r∂r​=1
  然后计算 ∇⋅eθ\nabla \cdot \mathbf{e}{\theta}∇⋅eθ​：
  ∇⋅eθ=1r∂∂θ(r⋅0)=1r∂0∂θ=0\nabla \cdot \mathbf{e}{\theta} = \frac{1}{r}
  \frac{\partial}{\partial \theta} (r \cdot 0) = \frac{1}{r} \frac{\partial
  0}{\partial \theta} = 0∇⋅eθ​=r1​∂θ∂​(r⋅0)=r1​∂θ∂0​=0
  最后计算 ∇⋅ez\nabla \cdot \mathbf{e}_z∇⋅ez​：
  ∇⋅ez=∂∂z(0)=0\nabla \cdot \mathbf{e}z = \frac{\partial}{\partial z} (0) =
  0∇⋅ez​=∂z∂​(0)=0
  因此，柱坐标系下的散度表达式为：
  ∇⋅F=1r∂(rFr)∂r+1r∂Fθ∂θ+∂Fz∂z\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}
  \frac{\partial (rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial
  F{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial
  z}∇⋅F=r1​∂r∂(rFr​)​+r1​∂θ∂Fθ​​+∂z∂Fz​​

  在球坐标系下的散度表达式推导

  在球坐标系下，一个向量场 F=Frer+Fθeθ+Fϕeϕ\mathbf{F} = F_r \mathbf{e}r + F{\theta}
  \mathbf{e}{\theta} + F{\phi} \mathbf{e}{\phi}F=Fr​er​+Fθ​eθ​+Fϕ​eϕ​ ，其中
  er\mathbf{e}rer​、eθ\mathbf{e}{\theta}eθ​、eϕ\mathbf{e}{\phi}eϕ​
  分别是球坐标系的单位矢量。
  球坐标系下的梯度算子表达式为：
  ∇=∂∂rer+1r∂∂θeθ+1rsin⁡θ∂∂ϕeϕ\nabla = \frac{\partial}{\partial r} \mathbf{e}_r
• \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \mathbf{e}{\theta} +
  \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi}
  \mathbf{e}{\phi}∇=∂r∂​er​+r1​∂θ∂​eθ​+rsinθ1​∂ϕ∂​eϕ​
  同样地，我们需要将梯度算子的表达式代入散度的定义中计算。首先计算 ∇⋅er\nabla \cdot \mathbf{e}r∇⋅er​：
  ∇⋅er=1r2sin⁡θ∂∂r(r2sin⁡θ⋅1)=1r2sin⁡θ∂(r2sin⁡θ)∂r=2sin⁡θr\nabla \cdot
  \mathbf{e}r = \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \sin
  \theta \cdot 1) = \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial (r^2 \sin
  \theta)}{\partial r} = 2 \frac{\sin
  \theta}{r}∇⋅er​=r2sinθ1​∂r∂​(r2sinθ⋅1)=r2sinθ1​∂r∂(r2sinθ)​=2rsinθ​
  然后计算 ∇⋅eθ\nabla \cdot \mathbf{e}{\theta}∇⋅eθ​：
  ∇⋅eθ=1r2sin⁡θ∂∂θ(rsin⁡θ⋅0)=0\nabla \cdot \mathbf{e}{\theta} = \frac{1}{r^2
  \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (r \sin \theta \cdot 0) =
  0∇⋅eθ​=r2sinθ1​∂θ∂​(rsinθ⋅0)=0
  最后计算 ∇⋅eϕ\nabla \cdot \mathbf{e}{\phi}∇⋅eϕ​：
  ∇⋅eϕ=1r2sin⁡θ∂∂ϕ(rsin⁡θ⋅0)=0\nabla \cdot \mathbf{e}{\phi} = \frac{1}{r^2 \sin
  \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} (r \sin \theta \cdot 0) =
  0∇⋅eϕ​=r2sinθ1​∂ϕ∂​(rsinθ⋅0)=0
  因此，球坐标系下的散度表达式为：
  ∇⋅F=1r2∂(r2Fr)∂r+1rsin⁡θ∂Fθ∂θ+1rsin⁡θ∂Fϕ∂ϕ\nabla \cdot \mathbf{F} =
  \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \theta}
  \frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{1}{r \sin \theta}
  \frac{\partial F_{\phi}}{\partial
  \phi}∇⋅F=r21​∂r∂(r2Fr​)​+rsinθ1​∂θ∂Fθ​​+rsinθ1​∂ϕ∂Fϕ​​
  这样就得到了在柱坐标系和球坐标系下的散度表达式。

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