LeetCode题练习与总结：搜索插入位置

一、题目

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

二、解题思路

1. 初始化两个指针，left 指向数组的起始位置，right 指向数组的结束位置。
2. 当 left 小于等于 right 时，执行以下步骤： a. 计算中间位置 mid，即 (left + right) / 2。 b. 如果 nums[mid] 等于 target，则找到了目标值，返回 mid。 c. 如果 nums[mid] 小于 target，则目标值在 mid 右侧，更新 left 为 mid + 1。 d. 如果 nums[mid] 大于 target，则目标值在 mid 左侧或者就是 mid 的位置，更新 right 为 mid - 1。
3. 如果 left 大于 right，表示没有找到目标值，此时 left 指针指向的位置即为目标值应该插入的位置，返回 left。

三、具体代码

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
 
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid; // 找到目标值，返回索引
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1; // 目标值在右侧
            } else {
                right = mid - 1; // 目标值在左侧或者就是mid位置
            }
        }
        return left; // 没有找到，返回应该插入的位置
    }
}

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度

• 二分查找算法的时间复杂度是 O(log n)，其中 n 是数组的长度。
• 这是因为在每次迭代中，算法都会将搜索区间减半，从而实现对数级别的查找效率。
• 具体来说，每次比较后，搜索区间缩小到原来的一半，直到找到目标值或者区间缩小到无法再分。
• 这个过程中，最多需要进行 log2(n) 次迭代，因此时间复杂度为 O(log n)。

2. 空间复杂度

• 二分查找算法的空间复杂度是 O(1)。
• 这是因为算法在执行过程中只需要存储几个变量（如左右边界和中间索引），这些变量的数量不随输入数组的大小而改变。
• 因此，无论数组有多大，所需的额外空间始终保持恒定，所以空间复杂度是常数级别的 O(1)。

五、总结知识点

1. 二分查找算法（Binary Search Algorithm）：

• 这是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。
• 通过每次将搜索区间减半，快速定位元素位置或确定插入位置。

2. 循环控制：

• 使用 while 循环来实现二分查找的过程。
• 循环条件 left <= right 确保了搜索区间始终有效。

3. 变量命名和作用：

• left 和 right 分别表示搜索区间的左右边界。
• mid 表示当前搜索区间的中间位置。

4. 防止整数溢出：

• 在计算 mid 时，使用 left + (right - left) / 2 而不是 (left + right) / 2，这是为了避免在 left 和 right 都很大时发生整数溢出。

5. 条件判断和索引更新：

• 根据 nums[mid] 与 target 的比较结果，更新搜索区间的边界。
• 如果 nums[mid] 等于 target，则返回 mid 索引。
• 如果 nums[mid] 小于 target，则更新 left 为 mid + 1，搜索右侧区间。
• 如果 nums[mid] 大于 target，则更新 right 为 mid - 1，搜索左侧区间。

6. 返回值：

• 如果找到目标值，返回其索引。
• 如果未找到目标值，返回 left，此时 left 指向的位置是目标值应该插入的位置。

以上就是解决这个问题的详细步骤，希望能够为各位提供启发和帮助。