线性代数笔记8--AX=b:可解性、解的结构

1. 求解Ax=b

$AX=b$有解，则$b$在$A$的列向量之中。

举例
A X = b [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ b 1 b 2 b 3 ] AX=b\\ [1222246836810]

[x1x2x3x4]= [b1b2b3] AX=b ​123​246​268​2810​ ​ ​x1​x2​x3​x4​​ ​= ​b1​b2​b3​​ ​

增广矩阵，将方程的解放在系数后面得到的矩阵。
A u = [ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] A_{u}= [1222b12468b236810b3]

Au​= ​123​246​268​2810​b1​b2​b3​​ ​

• 消元

A u = [ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] ⟶ c 2 − 2 c 1 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 3 6 8 10 b 3 ] ⟶ c 3 − 3 c 1 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 2 4 b 3 − 3 b 1 ] ⟶ c 3 − c 2 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ] A_{u}= [1222b12468b236810b3]

\stackrel{c_2-2c_1}\longrightarrow{} [1222b10024b2−2b136810b3] \stackrel{c_3-3c_1}\longrightarrow{}\\ [1222b10024b2−2b10024b3−3b1] \stackrel{c_3-c_2}\longrightarrow{} [1222b10024b2−2b10000b3−b2−b1] Au​= ​123​246​268​2810​b1​b2​b3​​ ​⟶c2​−2c1​​ ​103​206​228​2410​b1​b2​−2b1​b3​​ ​⟶c3​−3c1​​ ​100​200​222​244​b1​b2​−2b1​b3​−3b1​​ ​⟶c3​−c2​​ ​100​200​220​240​b1​b2​−2b1​b3​−b2​−b1​​ ​

分类讨论

1. 消元后当出现有一行只有最后一列非0，方程则不存在解
2. 否则存在解

对于上面的例子: 需要满足$b_3-b_2-b_1=0$

假设
b = [ 1 5 6 ] b= [156]

b= ​156​ ​

• 求特解

假设所有自由列的取值均为0，求出一个特解。

A ′ = [ 1 2 2 2 1 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 ] A'= [122210024300000]

A′= ​100​200​220​240​130​ ​

得到
x p = [ − 2 0 3 2 0 ] x_p= [−20320]

xp​= ​−2023​0​ ​

• 求$A$的零空间

求法在上一节中已经知道了。
[ 1 2 0 − 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ] ⟶ [ 1 0 2 − 2 0 1 0 2 0 0 0 0 ] [120−200120000]

\stackrel{}\longrightarrow{} [102−201020000] ​100​200​010​−220​ ​⟶​ ​100​010​200​−220​ ​

$A$的零空间
N ( A ) = c [ − 2 1 0 0 ] + d [ 2 0 − 2 1 ] N(A)= c [−2100]

+d [20−21] N(A)=c ​−2100​ ​+d ​20−21​ ​

• 组合特解和$N(A)$

a n s = X p + X N = [ − 2 0 3 2 0 ] + c [ − 2 1 0 0 ] + d [ 2 0 − 2 1 ] ans=X_p+X_N= [−20320]

+ c [−2100] +d [20−21] ans=Xp​+XN​= ​−2023​0​ ​+c ​−2100​ ​+d ​20−21​ ​

为什么是这样?
$$\begin{gathered} A{X}_p=b \\ A{X}_n=0 \\ A(X_p+X_n)=b \end{gathered}$$

相当于在$R^4$的一个平面平移到了点$x_p$上得到的一个新$R^2$平面。

2. 解的结构

分类讨论

对于大小为$m\times n$的秩为$r$矩阵$A$ , 方程组$AX=b$解的情况会是怎样的？

$r\le m,r\le n$

2.1 列满秩的情况

$r=n<m$

此时$N(A)=0$，可能有一个解或者没有解。

$b$不能满足$A$行的线性组合。

举例
A = [ 1 3 2 1 6 1 5 1 ] A= [13216151]

A= ​1265​3111​ ​

2.2 行满秩的情况

$r=m<n$
矩阵还有$n-m$个自由元，方程有无穷多个解。

A = [ 1 2 6 5 3 1 1 1 ] A= [12653111]

A=[13​21​61​51​]

2.3 行列满秩的情况

$r=n=m$

A = [ 1 3 2 4 ] A= [1324]

A=[12​34​]

2.4 行列均不满秩

$$r<n,r<m$$

R = [ I F 0 0 ] R= [IF00]

R=[I0​F0​]

$0$个或$\infty$个