Krylov matrix

Krylov矩阵是一种在数值线性代数中使用的矩阵，尤其是在迭代解法中用于求解线性方程组、特征值问题和其他线性代数问题。它是由俄国数学家阿列克谢·尼古拉耶维奇·克雷洛夫（Alexei Nikolaevich Krylov）的名字命名的。
Krylov子空间由以下形式的矩阵生成：
K ( A , v ) = { v , A v , A 2 v , … , A m − 1 v } K(A, \mathbf{v}) = \{\mathbf{v}, A\mathbf{v}, A^2\mathbf{v}, \dots, A^{m-1}\mathbf{v}\} K(A,v)={v,Av,A2v,…,Am−1v}
其中 $A$是一个 $n\times n$方阵， $\mathbf{v}$ 是一个 $n$ 维向量，$m$通常远小于$n$。这些向量可以被看作是通过不断地将矩阵 $A$ 应用于向量 $\mathbf{v}$ 来生成的。所生成的Krylov矩阵可以表达为：
$K_m=[\mathbf{v},A\mathbf{v},A^2\mathbf{v},\dots ,A^{m-1}\mathbf{v}]$
在这个定义中，每个 $A^i\mathbf{v}$被称为Krylov矩阵的一列，这个矩阵的列跨越了 $A$的一个Krylov子空间。
Krylov矩阵在迭代方法中非常重要，因为它们与系统的特征值和特征向量有紧密的联系，并且能够在没有完整解决问题的情况下提供有用的近似信息。例如，Krylov子空间方法，如共轭梯度法（用于对称正定矩阵）和GMRES（Generalized Minimal Residual Method，用于非对称问题），就是基于构建这种类型的子空间来迭代地逼近线性方程组 $Ax=b$的解。
简而言之，Krylov矩阵和子空间为解决大型稀疏矩阵问题提供了一种高效的计算方法，广泛应用于科学计算和工程领域。