Krylov矩阵是一种在数值线性代数中使用的矩阵，尤其是在迭代解法中用于求解线性方程组、特征值问题和其他线性代数问题。它是由俄国数学家阿列克谢·尼古拉耶维奇·克雷洛夫（Alexei Nikolaevich Krylov）的名字命名的。
Krylov子空间由以下形式的矩阵生成：
K
(
A
,
v
)
=
{
v
,
A
v
,
A
2
v
,
…
,
A
m
−
1
v
}
K(A, \mathbf{v}) = \{\mathbf{v}, A\mathbf{v}, A^2\mathbf{v}, \dots, A^{m-1}\mathbf{v}\}
K(A,v)={v,Av,A2v,…,Am−1v}
其中
A
A
A是一个
n
×
n
n \times n
n×n方阵，
v
\mathbf{v}
v 是一个
n
n
n 维向量，
m
m
m通常远小于
n
n
n。这些向量可以被看作是通过不断地将矩阵
A
A
A 应用于向量
v
\mathbf{v}
v 来生成的。所生成的Krylov矩阵可以表达为：
K
m
=
[
v
,
A
v
,
A
2
v
,
…
,
A
m
−
1
v
]
K_m = [\mathbf{v}, A\mathbf{v}, A^2\mathbf{v}, \dots, A^{m-1}\mathbf{v}]
Km=[v,Av,A2v,…,Am−1v]
在这个定义中，每个
A
i
v
A^i\mathbf{v}
Aiv被称为Krylov矩阵的一列，这个矩阵的列跨越了
A
A
A的一个Krylov子空间。
Krylov矩阵在迭代方法中非常重要，因为它们与系统的特征值和特征向量有紧密的联系，并且能够在没有完整解决问题的情况下提供有用的近似信息。例如，Krylov子空间方法，如共轭梯度法（用于对称正定矩阵）和GMRES（Generalized Minimal Residual Method，用于非对称问题），就是基于构建这种类型的子空间来迭代地逼近线性方程组
A
x
=
b
Ax = b
Ax=b的解。
简而言之，Krylov矩阵和子空间为解决大型稀疏矩阵问题提供了一种高效的计算方法，广泛应用于科学计算和工程领域。