聊聊神经网络的优化算法

优化算法主要用于调整神经网络中的超参数，使得训练数据集上的损失函数尽可能小。其核心逻辑是通过计算损失函数对参数的梯度（导数）来确定参数更新方向。

SGD

Stochastic Gradient Descent(随机梯度下降法)：随机梯度下降算法是一种改进的梯度下降方法，它在每次更新参数时，只随机选择一个样本来计算梯度。这样可以大大减少计算量，提高训练速度。随机梯度下降算法在训练大规模数据集时非常有效。

其Python实现是

class SGD:
    """随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）"""
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
    # 更新超参数
    def update(self, params, grads):
        for key in params.keys():
            params[key] -= self.lr * grads[key]

参数lr表示学习率，参数params和grads是字典变量，保存了权重参数(prams['W1'])与梯度(grads['W1'])，update方法执行的是超参数的梯度更新。
使用这个SGD类，可以按如下伪代码进行神经网络的参数更新:

network = nn.layernet()
optimizer = SGD()

for i in range(10000):
    x_batch, t_batch = get_batch(..)
    # 获取参数的梯度信息
    grads = network.gradient(x_batch, t_batch)
    # 获取参数
    params = network.params
    optimizer.update(params,grads)

Momentum

Momentum是"动量"的意思，是物理学的概念。其数学表达式如下:


这里新出现的参数，对应物理上的速度。类似小球在斜面上的滚动。

可以使物体逐渐减速，对应物理上的地面磨擦与空气阻力。其Python实现如下

class Momentum:

    """Momentum SGD"""

    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
    # 更新超参数
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():                                
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
                
        for key in params.keys():
            self.v[key] = self.momentum*self.v[key] - self.lr*grads[key] 
            params[key] += self.v[key]

AdaGrad

在神经网络中，学习率的值很重要。学习率过小会导致学习花费过多的时间；反之，学习率过大会导致学习发散，不能正确进行。
AdaGrad会为参数的每个元素适当的(Adaptive)调整学习率，与此同时进行学习。其数学表达式如下：


参数 保存了以前的所有参数的梯度值的平方和（表示对应矩阵元素的乘法）。更新参数时，通过乘以，调整学习的尺度。即按参数的元素进行学习率衰减，使得变动大的参数的学习率逐渐减小。
其python实现如下：

class AdaGrad:

    """AdaGrad"""

    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
        self.h = None
        
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
            
        for key in params.keys():
            self.h[key] += grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)

Adam

Momentum参照小球在碗中滚动的物理规则进行移动，AdaGrad为参数的每个元素适当的调整更新步伐。将两者融合就是Adam方法的基本思路。
Adam算法的公式如下，流程比较复杂，简单的理解就是其基本思路。

1. 初始化：设 ( t = 0 )，初始化模型参数，学习率，以及超参数 。为每个参数 初始化一阶矩估计 和二阶矩估计。
2. 在第 ( t ) 步，计算目标函数 对参数 的梯度 。
3. 更新一阶矩估计： 。
4. 更新二阶矩估计：。
5. 校正一阶矩估计和二阶矩估计中的偏差：。
6. 计算自适应学习率：。
7. 使用自适应学习率更新模型参数： 。
8. ( t = t + 1 )，重复步骤 2-7 直到收敛。
   通过上述公式，Adam算法能够自适应地调整每个参数的学习率，从而在训练过程中加速收敛。

其Python实现：

class Adam:

    """Adam (http://arxiv.org/abs/1412.6980v8)"""

    def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
        self.lr = lr
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.iter = 0
        self.m = None
        self.v = None
        
    def update(self, params, grads):
        if self.m is None:
            self.m, self.v = {}, {}
            for key, val in params.items():
                self.m[key] = np.zeros_like(val)
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
        
        self.iter += 1
        lr_t  = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2**self.iter) / (1.0 - self.beta1**self.iter)         
        
        for key in params.keys():
            self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
            self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key]**2 - self.v[key])
            params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)