rotation matrix &reflection matrix

1. rotation matrix

图像逆时针旋转$\theta$的矩阵
Q r o t a t e = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] (1) Q_{rotate}=[cosθ−sinθsinθcosθ]

\tag1 Qrotate​=[cosθsinθ​−sinθcosθ​](1)

• 为了方便计算和表达，我们用$I$单位矩阵进行分析
  $$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
  可以得到两个点 Q=(1 , 0);Q=( 0, 1)，我们将两个向量逆时针旋转$\theta$角度后，可以得到此时的角度
  $$Q^{\prime }[1,0]=\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
  $$Q^{\prime }[0,1]=\left[\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
  所以可以得到$I$单位向量在逆时针旋转$\theta$后的旋转矩阵如下

1.1 结论

Q r o t a t e = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] (5) Q_{rotate}=[cosθ−sinθsinθcosθ]

\tag5 Qrotate​=[cosθsinθ​−sinθcosθ​](5)

2. reflection matrix

Q r o t a t e = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] (6) Q_{rotate}=[cosθ−sinθsinθcosθ]

\tag6 Qrotate​=[cosθsinθ​−sinθcosθ​](6)
图像沿着直线$\frac{1}{2}\theta$对称矩阵，反射矩阵

• 为了方便计算和表达，我们用$I$单位矩阵进行分析
  $$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
  可以得到两个点 Q=(1 , 0);Q=( 0, 1)，我们将两个向量关于$\frac{1}{2}\theta$直线对称后，可以得到此时的坐标
  
  $$Q^{\prime }[1,0]=\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$
  
  $$Q^{\prime }[0,1]=\left[\begin{array}{c}\sin \theta \\ -\cos \theta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(9)}$$

2.1 结论

Q r e f l e c t i o n = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ θ − cos ⁡ θ ] (10) Q_{reflection}=[cosθsinθsinθ−cosθ]

\tag{10} Qreflection​=[cosθsinθ​sinθ−cosθ​](10)