• 数据结构——时间复杂度和空间复杂度

    一. 算法效率 

    1.1 算法的复杂度

    算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源 。因此 衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。
    时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

    二. 时间复杂度

    2.1 时间复杂度的概念

    时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

     即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。 

    1. // 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
    2. void Func1(int N)
    3. {
    4. int count = 0;
    5. for (int i = 0; i < N ; ++ i)
    6. {
    7.  for (int j = 0; j < N ; ++ j)
    8.  {
    9.  ++count;
    10.  }
    11. }
    12.  
    13. for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    14. {
    15.  ++count;
    16. }
    17. int M = 10;
    18. while (M--)
    19. {
    20.  ++count;
    21. }
    22. printf("%d\n", count);
    23. }
    Func1 执行的基本操作次数 ：F(N)=N^2+2*N+10
    实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这 里我们使用大 O 的渐进表示法。

    2.2 大O的渐进表示法

    大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

    推导大 O 阶方法：
    1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
    2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
    3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。
    使用大 O 的渐进表示法以后， Func1 的时间复杂度为

                                                   O(N^2)

    通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。
    另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
    在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况

    2.3  常见时间复杂度计算举例

    实例 1 ： 
    1. // 计算Func2的时间复杂度？
    2. void Func2(int N)
    3. {
    4.  int count = 0;
    5.  for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    6.  {
    7.  ++count;
    8.  }
    9.  int M = 10;
    10.  while (M--)
    11.  {
    12.  ++count;
    13.  }
    14.  printf("%d\n", count);
    15. }
    解析： 基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
    实例 2: 
    1. // 计算Func3的时间复杂度？
    2. void Func3(int N, int M)
    3. {
    4.  int count = 0;
    5.  for (int k = 0; k < M; ++ k)
    6.  {
    7.  ++count;
    8.  }
    9.  for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    10.  {
    11.  ++count;
    12.  }
    13.  printf("%d\n", count);
    14. }
    解析： 基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
    实例 3: 
    1. // 计算Func4的时间复杂度？
    2. void Func4(int N)
    3. {
    4.  int count = 0;
    5.  for (int k = 0; k < 100; ++ k)
    6.  {
    7.  ++count;
    8.  }
    9.  printf("%d\n", count);
    10. }
    解析： 基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
    实例 4: 
    1. // 计算BubbleSort的时间复杂度？
    2. void BubbleSort(int* a, int n)
    3. {
    4.  assert(a);
    5.  for (size_t end = n; end > 0; --end)
    6.  {
    7.  int exchange = 0;
    8.  for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    9.  {
    10.  if (a[i-1] > a[i])
    11.  {
    12.  Swap(&a[i-1], &a[i]);
    13.  exchange = 1;
    14.  }
    15.  }
    16.  if (exchange == 0)
    17.  break;
    18.  }
    19. }
    解析： 基本操作执行最好N次，最坏执行了1+2+.......+(n-1)次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2).
      实例5 : 
    1. // 计算BinarySearch的时间复杂度？
    2. int BinarySearch(int* a, int n, int x)
    3. {
    4.  assert(a);
    5.  int begin = 0;
    6.  int end = n-1;
    7.  // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
    8.  while (begin <= end)
    9.  {
    10.  int mid = begin + ((end-begin)>>1);//也可写成int mid = begin + (end-begin)/2;
    11.  if (a[mid] < x)
    12.  begin = mid+1;
    13.  else if (a[mid] > x)
    14.  end = mid-1;
    15.  else
    16.  return mid;
    17.  }
    18.  return -1;
    19. }
    解析：这是二分查找， 基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN).
    ps： logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。
     实例6 : 
    1. // 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
    2. long long Fac(size_t N)
    3. {
    4. if(0 == N)
    5. return 1;
    6.  
    7. return Fac(N-1)*N;
    8. }
    9.  
     解析：基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
     实例7 : 
    1. // 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
    2. long long Fib(size_t N)
    3. {
    4.  if(N < 3)
    5.  return 1;
    6.  
    7.  return Fib(N-1) + Fib(N-2);
    8. }

    解析：基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

    三. 空间复杂度

    空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。
    空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
    空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大 O 渐进表示法 。
    注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

    实例1： 

    1. // 计算BubbleSort的空间复杂度？
    2. void BubbleSort(int* a, int n)
    3. { 
    4.   assert(a);
    5.  for (size_t end = n; end > 0; --end)
    6.  {
    7.  int exchange = 0;
    8.  for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    9.  {
    10.  if (a[i-1] > a[i])
    11.  {
    12.  Swap(&a[i-1], &a[i]);
    13.  exchange = 1;
    14.  }
    15.  }
    16.  if (exchange == 0)
    17.  break;
    18.  }
    19. }

    解析：冒泡排序使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1) 

    实例 2 ： 
    1. // 计算Fibonacci的空间复杂度？
    2. // 返回斐波那契数列的前n项
    3. long long* Fibonacci(size_t n)
    4. {
    5.  if(n==0)
    6.  return NULL;
    7.  
    8.  long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    9.  fibArray[0] = 0;
    10.  fibArray[1] = 1;
    11.  for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    12.  {
    13.  fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    14.  }
    15.  return fibArray;
    16. }
     解析： 动态开辟了N+1个空间，空间复杂度为 O(N)
    实例 3 ： 
    1. // 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
    2. long long Fac(size_t N)
    3. {
    4. if(N == 0)
    5. return 1;
    6.  
    7. return Fac(N-1)*N;
    8. }

    解析：递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

    四.  复杂度的oj练习

    4.1 轮转数组

    解法一：每次旋转一个数字，将最后一个数字放在临时变量中，将数组其他元素向后移动一位，再将临时变量的值放在数组下标为0的位置 ，旋转k次

    时间复杂度：O(N*K),K的最坏情况是N-1,所以时间复杂度为O(N^2)

    空间复杂度：O(1)

    1. void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    2.    
    3.     k=k%numsSize;
    4.     for(int i=0;i
    5.     {
    6.         int tmp=nums[numsSize-1];
    7.         for(int j=numsSize-1;j>0;j--)
    8.         {
    9.             nums[j]=nums[j-1];
    10.         }
    11.         nums[0]=tmp;
    12.     }
    13. }

     解法二：将前n-k个数字反转，后k个数字反转，在整个反转

    时间复杂度：分别一共遍历了俩次数组，O(N)

    空间复杂度：O(1)

    1.  
    2.     void reverse(int nums[],int left,int right)
    3. {
    4.   while(left
    5.   {
    6.       int tmp=nums[left];
    7.       nums[left]=nums[right];
    8.       nums[right]=tmp;
    9.       left++;
    10.       right--;
    11.   }
    12. }
    13. void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    14.    
    15.     k=k%numsSize;
    16.     reverse(nums,0,numsSize-k-1);
    17.     reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);
    18.     reverse(nums,0,numsSize-1);
    19.    
    20. }

    解法三：开辟一个数组，将原数组后k个数据放在新数组的前k个位置，将原数组前n-k个数据放在新数组后n-k个位置，然后将新数组拷贝回去

    时间复杂度：O(N)

    空间复杂度：O(N) 

    1.  
    2. void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    3.    
    4.     k=k%numsSize;
    5.    int arr[numsSize];
    6.    for(int i=0;i
    7. {
    8.     arr[i]=nums[numsSize-k+i];
    9. }
    10. for(int i=0;i
    11. {
    12.     arr[k+i]=nums[i];
    13. }
    14. for(int i=0;i
    15. {
    16.     nums[i]=arr[i];
    17. }
    18.    
    19. }

     4.2  消失的数字

    解法一：0^a=a,a^a=0

    异或数组所有元素,再与0到n个数字异或，则结果就为缺失的数字

    时间复杂度：O(N)

    空间复杂度：O(1)

    1.  
    2. int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    3.  
    4.     int tmp=0;
    5.     for(int i=0;i
    6.     {
    7.         tmp=tmp^nums[i];
    8.     }
    9.     for(int i=0;i<=numsSize;i++)
    10.     {
    11.         tmp=tmp^i;
    12.     }
    13.     return tmp;
    14. }
    15.

     解法二：将0~n个数字累计加起来，然后一一减去数组里面数字，最后的结果就是缺失的数字

    时间复杂度：O(N)

    空间复杂度：O(1)

    1.  
    2. int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    3.  
    4.    int tmp=numsSize*(numsSize+1)/2;
    5.    for(int i=0;i
    6.    {
    7.        tmp=tmp-nums[i];
    8.    }
    9.    return tmp;
    10. }

    4.3  移除元素

    思路：

    因为要求在原地修改数组，所以空间复杂度为O(1)，不能够额外增加空间，那么我们定义俩个下标，dst和scr,将下标scr的值给给下标为dst的值，当nums[scr]！=val，scr++,dst++;scr遇到nums[scr]==val的元素，则scr跳过， dst保持不动,最终dst的值为移除后数组的新长度。

    时间复杂度：O(N)

    空间复杂度：O(1)

    1. int removeElement(int* nums, int numsSize, int val) {
    2.       int scr=0;
    3.       int dst=0;
    4.       while(scr
    5.       {
    6.           if(nums[scr]!=val)
    7.           {
    8.               nums[dst]=nums[scr];
    9.              scr++;
    10.               dst++;
    11.           }
    12.           else
    13.           {
    14.              scr++;
    15.           }
    16.       }
    17.       return dst;
    18. }

     4.4   删除有序数组的重复项

    思路：双指针

    要注意题目中已给条件，非严格递增数列，这是解题的关键，遇到重复项，则让重复的后一项的后面的元素向前覆盖掉后重复项

    1）当数组长度为1，返回1

    2）当数组元素大于2，

    如果nums[fast] ≠ nums[slow]，那么nums[slow + 1] = nums[fast]；

    如果nums[fast] == nums[slow]，那么指针fast继续向后查找。

    时间复杂度：O(N)

    空间复杂度：O(1)

    1. int removeDuplicates(int* nums, int numsSize) {
    2.     if(numsSize==1)
    3.     {
    4.         return 1;
    5.     }
    6.     int fast=1;
    7.     int slow=0;
    8.     while(fast
    9.     {
    10.        if(nums[fast]!=nums[slow])
    11.        {
    12.           
    13.             nums[slow+1]=nums[fast];
    14.              slow++;
    15.              fast++;
    16.        }
    17.        else
    18.        {
    19.           
    20.              fast++;
    21.       
    22.        }
    23.      
    24.  
    25.     }
    26.     return slow+1;
    27.     
    28. }

     4.5   合并俩个有序数组

    思路一：重新创造一个数组，用双指针法，分别指向俩个数组，将小的放入新数组，最后拷贝回nums1数组

    时间复杂度：O(n+m)

    空间复杂度：O(n+m)

    1. void merge(int* nums1, int nums1Size, int m, int* nums2, int nums2Size, int n) {
    2.      int arr[n+m];
    3.      int i=0;
    4.      int j=0;
    5.      int k=0;
    6.      while(i
    7.      {
    8.          if(nums1[i]>nums2[j])
    9.          {
    10.              arr[k]=nums2[j];
    11.              j++;
    12.              k++;
    13.          }
    14.          else
    15.          {
    16.         arr[k]=nums1[i];
    17.         i++;
    18.         k++;
    19.          }
    20.      }
    21.      if(i==m)
    22.      {
    23.         while(j
    24.         {
    25.              arr[k]=nums2[j];
    26.          k++;
    27.          j++;
    28.         }
    29.      }
    30.       if(j==n)
    31.      {
    32.         while(i
    33.         {
    34.              arr[k]=nums1[i];
    35.          k++;
    36.          i++;
    37.         }
    38.      }
    39.      for(i=0;i
    40.      {
    41.          nums1[i]=arr[i];
    42.      }
    43.     
    44. }

    思路二：我们将nums1和nums2和并成一个数组，然后利用快排

    1. int cmp(int* a, int* b) {
    2.     return *a - *b;
    3. }
    4.  
    5. void merge(int* nums1, int nums1Size, int m, int* nums2, int nums2Size, int n) {
    6.     for (int i = 0; i 
    7.         nums1[m + i] = nums2[i];
    8.     }
    9.     qsort(nums1, nums1Size, sizeof(int), cmp);
    10. }
    11.

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