计算机的运算方法

无符号数

定义：没有符号的数，在寄存器中的每一位均可用来存放数值

表示范围：n 位无符号数 0~2n -1

有符号数

定义：符号位+数值位

“0”代表正，“1”代表负

表示范围：n 位有符号整数

原码、反码： -（2n-1 -1）~ 2n-1 -1【关于原点对称】 ，一共 2n -1 个数

补码：-2n-1 ~ 2n-1 -1，一共 2n 个数

原码

地位：原码是机器数中最简单的一种表示形式，符号位为 0 表示正数，为 1 表示负数，数值位即真值的绝对值

原码表示：带符号的绝对值表示

书写要求：整数的符号位与数值位之间用逗号隔开

小数的符号位与数值位之间用小数点隔开

真值零的原码表示有正零和负零两种形式，[+0]原 =00000 和 [-0]原 =10000

反码

正数：反码和原码表示相同

负数：符号位为1，数值位按位取反（即符号位不变，数值位按位取反）

真值零的反码表示不唯一，负数的反码符号位为“1”，数值部分取反，[+0]反 =0.0000，[-0]反 =1.1111

补码

一个负数可用其正补数代替，该正补数用模加负数本身求得

一个正数和一个负数互为补数时，绝对值之和为模数

正数的补数即该正数

正数：补码和原码表示相同

负数：反码+1

真值零的补码表示是唯一的，[+0]补 =[-0]补 =0.0000

移码

移码：在真值 X 上加上一个常数（偏置值），通常该常数取 2n ，n+1 位有符号数

同一真值的补码和移码仅差一个符号位，将补码的符号位由“0”改为“1”，或从“1”改为“0”，即可得该真值的移码

数的表示

定点表示

定点数：小数点固定在某一位置的数（约定小数点位置不变）

浮点表示

小数点的位置可用浮动

表示形式

表示范围

浮点数的规格化

目的

提高浮点数的精确度

左规

算数左移，阶码-1

右规

算数右移，阶码+1

规格化操作

基数为 2，尾数的最高位为1的数为规格化数；规格化时，尾数左移一位，阶码-1，尾数右移一位，阶码+1

基数为4，尾数的最高两位不全为0的数为规格化数；规格化时，尾数左移两位，阶码-1，尾数右移两位，阶码+1

基数为8，尾数的最高三位不全为0的数为规格化数；规格化时，尾数左移三位，阶码-1，尾数右移三位，阶码+1

发电机中一旦基数确定就不再改变，基数是隐含的，不同基数的浮点数表示形式完全不同

基数不同，对数的表示范围和精度等都有影响

基数 r 越大，可表示的浮点数范围越大，所表示的数的个数越多，浮点数的精度下降

IEEE 754 标准

阶码部分含阶符

数符：表示浮点数的正负，与其有效位（尾数）是分开的

• 对于规格化的二进制浮点数，数值的最高位总是“1”，为了能使尾数多表示一位有效位，将这个“1”隐含，因此尾数数值实际上是24位。隐含的“1”是一位整数。

移位运算

意义：二进制表示的机器数在相对于小数点作 n 位左移或右移时，其实质就是该数乘以或除以2n

逻辑移位

移位对象：无符号数

操作：逻辑左移时，高位移丢，低位补0；逻辑右移，地位移丢，高位补0

算术移位

移位对象：有符号数

操作：符号位保持不变，仅对数值位进行移位

正数

原码=反码=补码=真值，移位后出现的空位均补0

负数

原码

移位后出现的空位补0

反码

移位后出现的空位补1

补码

负数的补码=反码+1，导致反码最右边几个连续的1因进位变为0，直到进位碰到第一个0为止，所以，负数补码中，最右边的1及其右边同原码，左边同反码

左移后出现的空位补0，右移后出现的空位补1

加法与减法运算

加减法运算是计算机中最基本的运算

减法运算可看作被减数加上一个减数的负值，即 A-B=A+(-B)

补码加减法运算

补码表示的两个数进行加法运算时，可把符号位与数值位同等处理，只要结果不超出机器能表示的数值范围，运算后的结果按 2n+1 取模（对于整数）或按 2 取模（对于小数），可得到本次加法的运算结果

取模的意义：丢掉最左边的进位

基本思路

[-B]补 由 [B]补 连同符号位在内，每位取反+1得到

溢出判断

一位符号位判断溢出

对于加法，只有正数+正数和负数+负数两种情况下才可能出现溢出，符号不同的两个数相加，是不会溢出

正数+正数=负数，上溢

负数+负数=正数，下溢

对于减法，只有正数-负数或负数-正数两种情况下才可能出现溢出，符号相同的两个数相减，是不会溢出的

两位符号位判断溢出

2 位符号位不同时，表示溢出，否则，无溢出

乘法运算

原码乘法

原码一位乘运算规则

原码一位乘所需的硬件配置

A、X、Q 为 n+1 位寄存器

X：存放被乘数的原码

Q：存放乘数的原码

末尾乘数 Qn ：控制移位和加控制电路（ 当 Qn = 1 时，A 和 X 内容相加后，A、Q 右移一位；当 Qn =0 时，只作 A、Q 右移一位操作 ）

C：控制逐位相乘的次数

S：存放乘积的符号

GM ：乘法标记

原码一位乘控制流程

原码两位乘

原码两位乘，与原码一位乘一样，符号位和数值位的运算分开进行

用两位乘数的状态决定新的部分积如何形成，提高运算速度

除法运算

笔算除法

原码除法

实际上用补码进行运算

恢复余数法

特点：当余数为负时，需加上除数，将其恢复成原来的余数

商值的确定通过比较被除数和除数的绝对值大小 x*-y* 实现，因计算机内只设加法器，故将 x*-y* 变为[x*]补+[-y*]补 操作

不恢复余数法

浮点运算

浮点加减

当两浮点数阶码不等时，两尾数小数点的实际位置不一样，位数部分无法直接进行加减运算

运算步骤

1. 对阶
2. 尾数求和
3. 规格化
4. 舍入
5. 溢出判断

对阶

目的：使两数的小数点位置对齐，即使两数的阶码相等

原则：小阶向大阶看齐，使阶小的尾数向右移动，右移的次数等于阶差

尾数右移可能会发生数码丢失，影响精度

尾数求和

操作：将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和（差）

规格化

目的：增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和（差）后的尾数规格化

左规：00.0XX...X 或 11.1XX...X

右规：01.XX...X 或 10.XX...X

舍入

目的：提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位

“0 舍 1 入”法：尾数右移时，被移去的最高数值位为 0，舍去；被移去的最高数值位为 1，则在尾数的末位+1。这样做可能使得尾数溢出，需再做一次右规

“恒置 1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”或“0”，都使右移后的尾数末尾恒置“1”

溢出判断

尾数出现 01.XXX 或 10.XXX 不表示这一浮点数溢出，只有将此数右规后，才能再根据阶码判断浮点运算结果是否溢出