例题

力扣题目来源：https://leetcode.cn/problems/two-sum/

说明：

给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target，请你在该数组中找出 和为目标值 target 的那 两个 整数，并返回它们的数组下标。

你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。

你可以按任意顺序返回答案。

示例说明

示例 1：

输入：nums = [2,7,11,15], target = 9
输出：[0,1]
解释：因为 nums[0] + nums[1] == 9 ，返回 [0, 1] 。
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示例 2：

输入：nums = [3,2,4], target = 6
输出：[1,2]
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示例 3：

输入：nums = [3,3], target = 6
输出：[0,1]
1
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提示：

• $2\le nums.length\le 104$
• $-109\le nums[i]\le 109$
• $-109\le target\le 109$
• 只会存在一个有效答案

进阶：
你可以想出一个时间复杂度小于 $O(n^2)$ 的算法吗？

解题

方法一：暴力枚举

思路及算法

最容易想到的方法是枚举数组中的每一个数 x，寻找数组中是否存在 $target-x$。

当我们使用遍历整个数组的方式寻找 $target-x$ 时，需要注意到每一个位于 x 之前的元素都已经和 x 匹配过，因此不需要再进行匹配。而每一个元素不能被使用两次，所以我们只需要在 x 后面的元素中寻找 $target-x$。

代码

C++

class Solution {
public:
    vector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                if (nums[i] + nums[j] == target) {
                    return {i, j};
                }
            }
        }
        return {};
    }
};
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Python3

class Solution:
    def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        n = len(nums)
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                if nums[i] + nums[j] == target:
                    return [i, j]
        
        return []

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复杂度分析

时间复杂度：$O(N^2)$，其中 NN 是数组中的元素数量。最坏情况下数组中任意两个数都要被匹配一次。

空间复杂度：$O(1)$。

方法二：哈希表

思路及算法

注意到方法一的时间复杂度较高的原因是寻找 $target-x$的时间复杂度过高。因此，我们需要一种更优秀的方法，能够快速寻找数组中是否存在目标元素。如果存在，我们需要找出它的索引。

使用哈希表，可以将寻找 $target-x$ 的时间复杂度降低到从 $O(N)$ 降低到 $O(1)$。

这样我们创建一个哈希表，对于每一个 x，我们首先查询哈希表中是否存在 $target-x$，然后将 $x$插入到哈希表中，即可保证不会让 $x$ 和自己匹配。

本题呢，则要使用map，那么来看一下使用数组和set来做哈希法的局限。

• 数组的大小是受限制的，而且如果元素很少，而哈希值太大会造成内存空间的浪费。
• set是一个集合，里面放的元素只能是一个key，而两数之和这道题目，不仅要判断y是否存在而且还要记录y的下标位置，因为要返回x 和 y的下标。所以set 也不能用。

此时就要选择另一种数据结构：map ，map是一种key value的存储结构，可以用key保存数值，用value在保存数值所在的下标。

C++中map，有三种类型：

std::unordered_map 底层实现为哈希表，std::map 和std::multimap 的底层实现是红黑树

这道题目中并不需要key有序，选择std::unordered_map 效率更高！

解题思路动画如下：

代码

C++

class Solution {
public:
    vector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {
        unordered_map<int, int> hashtable;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            auto it = hashtable.find(target - nums[i]);
            if (it != hashtable.end()) {
                return {it->second, i};
            }
            hashtable[nums[i]] = i;
        }
        return {};
    }
};
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Python3

class Solution:
    def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        hashtable = dict()
        for i, num in enumerate(nums):
            if target - num in hashtable:
                return [hashtable[target - num], i]
            hashtable[nums[i]] = i
        return []
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复杂度分析

时间复杂度：$O(N)$，其中 N 是数组中的元素数量。对于每一个元素$x$，我们可以 $O(1)$ 地寻找 $target-x$。

空间复杂度：$O(N)$，其中 $N$ 是数组中的元素数量。主要为哈希表的开销。