【数据结构】树与二叉树（三）：二叉树的定义、特点、性质及相关证明

5.1 树的基本概念

5.1.1 树的定义

• 一棵树是结点的有限集合T：
  • 若T非空，则：
    • 有一个特别标出的结点，称作该树的根，记为root(T)；
    • 其余结点分成若干个不相交的非空集合T1, T2, …, Tm (m>0)，其中T1, T2, …, Tm又都是树，称作root(T)的子树。
  • T 空时为空树，记作root(T)=NULL。

5.1.2 森林的定义

  一个森林是0棵或多棵不相交（非空）树的集合，通常是一个有序的集合。换句话说，森林由多个树组成，这些树之间没有交集，且可以按照一定的次序排列。在森林中，每棵树都是独立的，具有根节点和子树，树与树之间没有直接的连接关系。
  森林是树的扩展概念，它是由多个树组成的集合。在计算机科学中，森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中，特别是在图论和网络分析等领域。

5.1.3 树的术语

• 父亲（parent）、儿子（child）、兄弟（sibling）、后裔（descendant）、祖先（ancestor）
• 度（degree）、叶子节点（leaf node）、分支节点（internal node）
• 结点的层数
• 路径、路径长度、结点的深度、树的深度

参照前文：【数据结构】树与二叉树（一）：树（森林）的基本概念：父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度

5.1.4 树的表示

• 【数据结构】树与二叉树（二）：树的表示C语言：树形表示法、嵌套集合表示法、嵌套括号表示法 、凹入表示法

5.2 二叉树

5.2.1 二叉树

1. 定义

  二叉树是一种常见的树状数据结构，它由结点的有限集合组成。一个二叉树要么是空集，被称为空二叉树，要么由一个根结点和两棵不相交的子树组成，分别称为左子树和右子树。每个结点最多有两个子结点，分别称为左子结点和右子结点。

2. 特点

  二叉树的特点是每个结点最多有两个子结点，并且子结点的位置是有序的，即左子结点在前，右子结点在后。这种有序性使得二叉树在搜索、排序等算法中有广泛的应用。

• 在二叉树中，根结点是整个树的起始点，通过根结点可以访问到整个树的其他结点。每个结点都可以看作是一个独立的二叉树，它的左子树和右子树也是二叉树。

• 二叉树可以是空树，也可以是只有根结点的树，或者是由多个结点组成的树。每个结点可以包含一个数据元素，以及指向左子结点和右子结点的指针。

• 二叉树的形状可以各不相同，它可以是平衡的或者不平衡的，具体取决于结点的分布情况。在二叉树中，每个结点的左子树和右子树都是二叉树，因此可以通过递归的方式来处理二叉树的操作。

3. 性质

• 引理5.1：二叉树中层数为i的结点至多有$2^i$个，其中$i\ge 0$。

  • 这个引理表明，二叉树的每一层上的结点数量是指数级增长的。

• 引理5.2：高度为k的二叉树中至多有$2^{k+1}-1$个结点，其中$k\ge 0$。

  • 这个引理说明了二叉树的高度与结点数量之间的关系，高度越大，结点数量也越多。

• 引理5.3：设T是由n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为$n_0$，度数为2的结点个数为$n_2$，则有$n_0=n_2+1$。

  • 这个引理描述了二叉树中叶结点和度数为2的结点之间的关系，即叶结点的数量比度数为2的结点数量多1。

引理5.1：二叉树中层数为i的结点至多有$2^i$个，其中$i\ge 0$。

  证明：使用数学归纳法。

基础步骤： 当 $i=0$ 时，仅有一个根结点，其层数为0。因此，第0层上至多有 $2^0=1$ 个结点。因此，当 $i=0$ 时，引理成立。

归纳假设： 假设当 $i=j$ $(j\ge 0)$ 时，二叉树中第 $j$ 层上至多有 $2^j$ 个结点。

归纳步骤： 考虑第 $j+1$ 层上的结点个数。对于任意一个结点，其子结点个数最多为2。根据归纳假设，第 $j$ 层上至多有 $2^j$ 个结点。因此，第 $j+1$ 层上的结点个数最多为 $2\times 2^j=2^{j+1}$ 个结点。

  因此，根据数学归纳法，对于任意非负整数 $i$，二叉树中层数为 $i$ 的结点至多有 $2^i$ 个。

证毕

引理5.2：高度为k的二叉树中至多有$2^{k+1}-1$个结点，其中$k\ge 0$。

  对于高度为k的二叉树，我们可以计算每一层的最大结点数，并将它们相加来得到总结点数的上界。根据引理5.1，第$i$层上至多有$2^i$个结点。那么，第$0$层至第$k$层的结点数上界可以表示为：
$$2^0+2^1+2^2+...+2^k$$

  这是一个等比数列的和，可以使用等比数列求和公式进行计算。等比数列的求和公式为：

$$S=a\ast (r^n-1)/(r-1)$$

其中，S表示数列的和，a是首项，r是公比，n是项数。

  在我们的情况下，首项a=1，公比r=2，项数n=k+1。将这些值代入公式中，我们可以得到：

$$2^0+2^1+2^2+...+2^k=1\ast (2^{k+1}-1)/(2-1)=2^{k+1}-1$$

因此，高度为k的二叉树中至多有2^(k+1) - 1个结点。

证毕

• 问题1：高度为k (k≥1)的二叉树中至少有多少个结点？k+1
• 问题2：含有k (k≥1)个结点的二叉树高度至多为多少？ k-1

引理5.3：设T是由n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为$n_0$，度数为2的结点个数为$n_2$，则有$n_0=n_2+1$。

  设T是由$n$个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为$n_0$，次数为2的结点个数为$n_2$。

  根据引理5.3的前提条件，我们有以下等式：

$$n=n_0+n_1+n_2(5-1)$$

其中，$n_1$是T中次数为1的结点个数。

  另一方面，设二叉树T的边的个数为$E$。除了根结点外，每个结点和其父结点之间都有且仅有一条边，即一个结点对应一条边。因此，结点的个数$n$比边的个数$E$多1（根结点不对应边），即：

$$n=E+1(5-2)$$

  另外，从另一个角度来看，次数为1的结点对应一条边，次数为2的结点对应两条边。因此，边的个数$E$可以表示为：

$$E=n_1+2n_2(5-3)$$

  我们将(5-1)、(5-2)和(5-3)联立起来，通过求解这个方程组，我们可以得到$n_0=n_2+1$，即二叉树T中的叶结点个数$n_0$为次数为2的结点个数$n_2$加1。

证毕