考研数学中放缩法和无穷项求和

放缩法专题

本文以例子为切入，对一些常用的放缩方法进行总结归纳，以期让读者对相关问题有一定的应对手段。

例子1

问题：2020年高数甲，选择题第1题。
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2}{n^2}+\frac{4}{n^2+1}+\cdots +\frac{2n}{n^2+n+1}\right)$$

解答：这个问题比较简单，只要注意到分母在$n\to +\infty$的过程中，$n^2$占主导项，那么就可以把分母统一起来，可以缩小到$n^2$，也可以放大到$n^2+n+1$。

分母统一后注意到$2+4+\cdots +2n=2\times \frac{n(n+1)}{2}$，那么极限就是分子和分母$n^2$项系数之比。

归纳总结：

• 放缩的项，尽量是不重要的项。

类似题目：

• 2017年高数甲，选择题第2题；2013年高数甲，选择题第2题。

例子2

问题：2019年高数甲，选择题第一题。

求极限：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)+\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n+1)}\right)\right]$$
A. $e-\frac{1}{2}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $e+\frac{1}{2}$

D. $\frac{7}{2}$

解答：这个问题作为选择题比较简单，要直接求极限则很复杂。

首先注意到，中括号中，两项极限肯定都存在。因为这两个求和项都比调和级数小，所以一定各自收敛。

那再看第二项$\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n+1)}\right)$，这里很明显应该用裂项消除来做，只要注意到：
$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$$
那么，裂项就可以化成：
$$\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots -\frac{1}{2n+1}\right)$$
很显然，此项的极限是$\frac{1}{2}$。

再看第一项，乍一看这是一个很难的极限，但注意到选项中出现了$e$，可以意识到它可能和两个重要极限中的
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$
曾使用过此项：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)$$

这里回顾一下证明重要极限的过程就可以理解了，直接用二项式定理公式展开：
( 1 + 1 n ) n = 1 + ( n 1 ) 1 n + ( n 2 ) 1 n 2 + ⋯ + ( n n ) 1 n n = 1 + n 1 ! ⋅ 1 n + n ( n − 1 ) 2 ! ⋅ 1 n 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − n + 1 ) n ! ⋅ 1 n n = 1 + 1 + 1 2 ! ⋅ n ( n − 1 ) n 2 + ⋯ + 1 n ! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − n + 1 ) n n ≤ 1 + 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ 1 n !

(1+n1​)n​=1+(1n​)n1​+(2n​)n21​+⋯+(nn​)nn1​=1+1!n​⋅n1​+2!n(n−1)​⋅n21​+⋯+n!n(n−1)(n−2)⋯(n−n+1)​⋅nn1​=1+1+2!1​⋅n2n(n−1)​+⋯+n!1​⋅nnn(n−1)(n−2)⋯(n−n+1)​≤1+1+2!1​+3!1​+⋯n!1​​

因此
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)\ge e-1$$

即使不记得此式，也应该记得重要极限的证明过程中，怎么确定上限的，那就是一个经典的放缩：
只需要注意到，函数的增长速度$2^{n-1}<n!<n^n$，将阶乘放缩到$n^n$是没用的，因为${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^n}$求和仍然不好求，放缩到$2^{n-1}$可以凑等比数列。可以得到：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!}\right)<\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2$$

即便$2^n$是能想象到的最接近$n!$的函数，但两者实际上差距仍然很大，所以这两个极限不相等，但这个不等关系已经可以排除出正确答案了。因为可以得到原式子一定小于$2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，只有A选项符合这个大小。

归纳总结

• 放缩的原则，放缩前后尽量接近；
• 放缩后是为了方便求值，有时不必保证放缩前后极限相等，不等关系也可以选出正确答案；
• 要对一些书上经典的证明有所了解，很多考试的技巧都在书中经典证明中出现过。

例子3

问题：2015年第二大题，计算
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\sin \frac{\pi }{n}}+\sqrt{1+\sin \frac{2\pi }{n}}+\cdots +\sqrt{1+\sin \frac{n\pi }{n}}\right)$$

解答：这个题目看上去也是无穷级数的累加，进行适当放缩。但实际上注意到$\frac{1}{n}$，应当把此极限化为定积分来计算。

归纳总结

• 有些无穷级数累加的极限，不要盲目用放缩法，能否化为定积分更容易判断。

例子4

问题：2004年第1大题，计算
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots +\sin \frac{1}{n}}$$

解答：首先检验是否可以定积分计算，定积分计算必然需要找出$dx=\frac{1}{n}$和定义变量$x$取值的$\frac{i}{n}$，x是等间距变化才行，而本题目中虽然可以构造$1/n$，但$\sin$内部的变化不是等间距的，因此不能用定积分。

然后检查是否可以裂项或使用三角函数等性质，制造连锁的反应，以直接求和出来，但不管和差化积、倍角公式还是乘$\cos$函数都不能实现此效果。三角函数乘积时容易用性质来做一些操作，但这里没有办法化乘积。

最后考虑放缩，如果了解一个常用的结论（证明方法也很经典，可以用均值不等式）：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$$
那么对放缩会有一个提前的意识：即便开$n$次根号下是一个函数$n$，增长率是线性的，开$n$次方结果仍会收到$1$。而根号下的求和实际上肯定不如$n$的。因此基本可以断定，这个极限结果必然是$1$，为验证此观点，放缩可以大胆点：
$$1<\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots +\sin \frac{1}{n}<n$$
因此：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1}<\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots +\sin \frac{1}{n}}<\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}$$

总结：

• 要了解一些常用的极限，判断要计算的级数的增长数量级，对放缩有一定的预估。
• 有些操作如开$n$次方$\sqrt[n]{x}$，本身会将很大范围内的函数收缩到$1$，这时不妨放缩大胆点。

例子5

问题：2002年第一题，求解
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\cdots \cos \frac{1}{2^n}$$

解答：看到三角函数，各个取值是2倍关系，应当立即想到倍角公式，这里只要乘以$\sin \frac{1}{2^n}$，即可知道如何做，当然别忘了额外乘了什么，就要除以什么。