经管博士科研基础【26】海塞矩阵

1. 海塞矩阵

海塞矩阵是一个由多变量实值函数的所有二阶偏导数组成的方块矩阵。

一元函数就是二阶导，多元函数就是二阶偏导组成的矩阵。求向量函数最小值时可以使用，矩阵正定是最小值存在的充分条件。经济学中常常遇到求最优的问题，目标函数是多元非线性函数的极值问题，尚无一般的求解方法，但判定局部极小值的方法就是用hessian矩阵。

判定规则如下：

在x0点上，hessian矩阵是负定的，且各分量的一阶偏导数为0，则x0为极大值点。

在x0点上，hessian矩阵式正定的，且各分量的一阶偏导数为0，则x0为极小值点。

矩阵是负定的充要条件是各个特征值均为负数。

矩阵是正定的充要条件是各个特征值均为正数。

比如说，给定一个函数，那么海塞矩阵就是H（f）

2. 海塞矩阵性质

3. 海塞矩阵求极值

记f在M点处海塞矩阵为H(M)。由于f在M点处连续，所以H(M)是一个n*n的对称矩阵，对于H(M),由如下结论：